로그입니다. 로그는 새로운 내용인데, 다행히도 거듭제곱과 거듭제곱근의 친구예요. 절친 중의 절친이죠. 셋이 서로 정말 닮아있어요.

로그는 거듭제곱과 거듭제곱근에 대해서 잘 이해하고 있다면 쉽게 할 수 있어요. 계산이 어렵지도 않고 지수에서 했던 내용이 많이 나오거든요. 거듭제곱의 다른 이름이 지수니까요.

첫 번째 시간이니까 로그의 정의에 대해서 확실히 이해하세요. 정의만 잘 이해하면 계산은 그냥 하나도 어렵지 않은 단지 귀찮은 지수법칙 계산일 뿐이에요.

로그의 정의

ax = b라는 식이 있다고 해보죠?

만약에 a, x는 알고 있는데, b를 모른다고 해보죠. 그럼 b를 어떻게 구하나요? a를 x번 곱해서 b를 구하겠죠? 이걸 거듭제곱이라고 불러요. b = ax 지수법칙, 지수함수도 같은 부류죠.

이번에는 x, b는 알고 있는데 a를 모른다고 해보죠. 여기서 a는 x제곱해서 b가 되는 수로 거듭제곱근을 이용해서 구할 수 있어요.

마지막으로 a, b는 알고 있는데 x를 모른다고 해보죠. x를 어떻게 구할까요? 바로 x를 구하는 방법이 로그에요. 영어로는 Logarithm이라고 하지요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그는 사실 하나의 식이에요. 그 식에서 우리가 얻으려고 하는 게 무엇인지에 따라 부르는 이름이 달라지고 표시하는 방법이 달라지는 거죠.

거듭제곱근을 구할 때 식의 모양을 바꾸는 것처럼 로그를 구할 때도 식의 모양을 바꿔요. a와 b를 이용해서 x를 구하는 식이요.

로그 표시 방법 - 밑, 진수

먼저 Logarithm의 앞 세 글자 log를 쓰고 a는 아래 첨자로, b는 그냥 보통 글자로 써요. a를 log 글자의 오른쪽 아래에 조그맣게 쓰는 건 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 쓰는 것과 비슷해요.

이렇게 나타낸 logab를 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 해요. 아래에 조그맣게 쓰는 a를 밑, 보통 글자로 쓰는 b를 진수라고 하죠. a는 원래 지수에서도 밑이었죠?

지수함수 y = ax에서 a > 0이고 a ≠ 1이어야 그 결과가 실수가 된다고 했어요. 로그에서도 마찬가지로 a > 0이어야 그 결과가 실수예요.

로그의 의미에서 생각해보면 a를 몇 제곱해야 b가 나오는지 구하는 거예요. 그런데 a = 1, b = 1이면 x가 어떤 수가 되더라도 식을 만족하니까 무수히 많은 x가 존재해요. 또 a = 1이고 b ≠ 1이라면 이걸 만족하는 x는 존재하지 않죠. 따라서 a ≠ 1이어야 해요.

결국, a > 0이고 a ≠ 1이어야 해요.

지수함수 y = ax에서 a > 0이고 a ≠ 1일 때 y > 0이었어요. 여기서는 y 대신 b를 사용했으니 마찬가지로 b > 0이에요.

 (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 사이에 관계에 대해서 이해하고 있어야 해요.

다음에서 지수는 로그로, 로그는 지수를 이용하여 나타내어라.
(1) 23 = 8
(2)
(3) 10-3 = 0.001
(4) 4 = log381
(5)

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때, ax = b ⇔ x = logab

(1) 23 = 8 ⇔ 3 = log28

(2)

(3) 10-3 = 0.001 ⇔ -3 = log100.001

(4) 4 = log381 ⇔ 34 = 81

(5)

다음 로그의 값을 구하여라.
(1) log381
(2) log42

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 x = logab ⇔ ax = b로 바꿔서 해를 구해요. 그러면 지수방정식으로 풀 수 있어요.

(1) x = log381로 놓으면
3x = 81
3x = 34
x = 4

(2) x = log42로 놓으면
4x = 2
(22)x = 2
22x = 2
2x = 1
x =

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정리해볼까요

로그

  •  (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
  • a를 밑으로 하는 b의 로그
  • a를 밑, b를 진수
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