로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

ax = b를 로그로 변환해보죠.
ax = b ⇔ logab = x   …… ①

ax = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 1 증명

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 22, b = 23이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 33, b = 34니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 ax = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 2 증명

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? logbb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때
로그의 밑 변환 공식

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log42
(2) log23 × log34

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 예제 풀이 1

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

로그의 밑 변환 공식 예제 풀이 2

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정리해볼까요

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때
로그의 밑 변환 공식

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