로그의 성질 두 번째, 밑 변환 공식 이용

로그의 성질 두 번째예요. 로그의 성질 첫 번째는 로그의 정의를 이용해서 유도했어요. 로그의 성질 두 번째는 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 유도해요.

여기서 공부한 성질까지 합쳐서 로그의 성질 모두를 외워야 합니다. 이름만 성질이고, 실제 내용은 공식이에요. 로그의 성질을 알고 있어야 로그의 계산을 할 수 있어요.

로그의 계산은 단순한 사칙연산에 불과하니까 로그의 성질만 알고 있다면 금방 풀 수 있어요.

로그의 성질 두 번째

로그의 성질 네 가지를 공부했었는데, 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 새로운 로그의 성질을 유도할 수 있어요. 여기서도 네 가지를 유도해보죠.

밑과 진수에 모두 지수가 있을 때예요. c(c > 0, c ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 성질에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있었죠? 그것처럼 밑의 지수도 앞으로 가져올 수 있어요. 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 가져와요.

로그의 성질에서 네 번째 성질과 비슷하니까 하나로 합쳐서 아래처럼 바꿀 수 있겠죠?

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, m, n이 실수일 때

이렇게 네 개는 꼭 외우세요.

이번에는 밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱해보죠.

밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱하면 1이에요.

지수에 로그가 있을 때 로그의 성질

처럼 지수에 로그가 있을 때도 있어요. 특히 지수의 밑과 로그의 밑이 a로 같아요.

= t라고 하고 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

네 번째 줄에서 두 로그의 값이 같을 때, 밑이 a로 같으니까 진수끼리도 같아야 해서 b = t이에요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요.

결과는 지수의 밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다는 거예요.

이번에는 를 보죠. 이때는 지수의 밑은 a, 로그의 밑은 c로 서로 달라요.

= t라고 하고 양변에 c를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서는 로그의 성질을 이용해서 진수의 지수를 로그 앞으로 내렸다면 다섯 번째 줄에서는 반대로 로그 앞에 있던 log_ca를 진수 b의 지수로 올렸어요.

마지막 줄에서는  = t라고 했으니까 대입했고요

생긴 게 좀 이상하죠? 지수에 있는 로그의 밑은 둘 다 c로 같은데, 지수의 밑과 로그의 진수가 서로 자리를 바꿨죠? 양쪽의 지수에 밑이 같은 로그가 있을 때는 지수의 밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 같다는 거예요.

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂3 × log₃4
(2)

(1) log₂3 × log₃4
= log₂3 × log₃2²
= 2 × log₂3 × log₃2
= 2

밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱은 1이에요. 그래서 앞에 2만 남았어요.

(2) 밑과 진수가 바뀐 두 로그인데 곱이 아니라 덧셈이에요.

함께 보면 좋은 글

로그란, 로그의 정의
로그의 성질, 로그의 성질 증명
로그의 밑 변환 공식

정리해볼까요

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수 일 때

로그의 밑 변환 공식

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