수학방

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

제한된 범위에서 함수의 최대, 최소를 구하는 건 1학년 때, 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소에서 해본 적이 있죠? 양쪽 경계나 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가져요.

지수함수는 꼭짓점이 없으니 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

지수함수와 지수함수의 그래프를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.

지수함수 y = ax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.

• a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x₁ < x₂이면, y₁ < y₂
• 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

그래프를 생각하면 쉬워요.

a > 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y도 커요.

0 < a < 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.

대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 지수 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 지수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.

다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 2⁴, $8^{\frac{6}{5}}$
(2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$, $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$

(1)

2⁴

지수를 비교해보죠. 4 > $\frac{18}{5}$로 4가 더 커요

밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ < y₂

지수가 크면 수가 더 크니까 2⁴ > $8^{\frac{6}{5}}$이에요.

(2)

지수를 비교해보죠. 2 < $\frac{8}{3}$로 $\frac{8}{3}$이 더 커요.

밑이 로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x₁ < x₂이면, y₁ > y₂

지수가 크면 수가 더 작으니까 $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$ > $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$ 이에요.

수열의 귀납적 정의는 첫째 항과 "앞의 항 → 다음 항"의 관계를 알려줘요. a₁을 알면 a₂를 구할 수 있고, a₂를 알면 a₃를 구할 수 있어요.

"첫 단추를 잘 못 끼우다." 이런 표현 있죠? 처음 시작이 잘 못 되어 그 뒤로도 계속 잘못된 상태가 된다는 뜻이잖아요. 반대로 생각해서 첫 단추를 잘 끼우면 두 번째 단추도 잘 끼울 수 있고, 두 번째 단추를 잘 끼우면 세 번째 단추도 잘 끼울 수 있어요.

수학적 귀납법은 이와 비슷해요. "앞 단계 → 다음 단계"로 이어지는 구조를 이용해서 명제가 참임을 증명해요.

첫 번째일 때 명제가 성립해요. 그리고 어떤 하나가 성립하면 연속된 그 다음도 성립한다고 해보죠.

첫 번째가 성립하면 그 다음인 두 번째도 성립하겠죠? 두 번째가 성립하니까 그 다음인 세 번째도 성립해요. 세 번째가 성립하니까 그 다음인 네 번째도 성립하고, … 이렇게 계속하면 결국 모두 다 성립하는 걸 알 수 있어요.

수학적 귀납법으로 어떤 명제가 모든 자연수에서 성립함을 보이려면 딱 두 단계만 거치면 돼요.

수학적 귀납법
1. 기초 단계: n = 1일 때 성립 확인
2. 귀납 단계: n = k일 때 성립한다고 가정하고, n = k + 1에서도 성립함을 증명

이 두 단계를 거치면, 모든 자연수에 대해 참이라는 결론을 얻을 수 있어요.

다음 수열을 보죠.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2

첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열로 일반항이 a_n = 2n - 1이에요.

수열의 일반항이 a_n = 2n - 1이 맞는지 수학적 귀납법으로 증명해 볼까요?

1. 기초 단계: n = 1일 때

a_n = 2n - 1
    = 2 × 1 - 1 (∵ n = 1 대입)
    = 1
    = a₁

n = 1일 때, 식이 성립해요.

2. 귀납 단계: 어떤 자연수 k에 대하여 n = k일 때 a_k = 2k - 1성립하면, n = k + 1일 때도 식이 성립하는지 알아보죠.

a_k = 2k - 1
a_k + 2 = 2k - 1 + 2       (∵ 양변 + 공차 2)
a_{k + 1} = 2k + 1         (∵ a_{n + 1} = a_n + 2)
a_{k + 1} = 2(k + 1) - 1

a_n = 2n - 1에 n = k + 1을 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 a_n = 2n - 1이 성립해요.

n = 1일 때, a_n = 2n - 1이 성립해요.
n = 1일 때 성립하니까 n = 2일 때도 성립해요.
n = 2일 때 성립하니까 n = 3일 때도 성립해요.
n = 3일 때 성립하니까 n = 4일 때도 성립해요.
…

따라서 모든 자연수 n에 대하여 a_n = 2n - 1이 성립함을 알 수 있어요.

모든 자연수 n에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $\frac{n(1+n)}{2}$
(2) 1² + 2² + 3² + 4² + … + n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

등차수열의 합과 여러 가지 수열의 합에서 봤던 공식이에요.

(1)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{1(1+n)}{2}$ = $\frac{1(1 + 1)}{2}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1 + 2 + 3 + 4 + … + k
    = $\frac{k(1+k)}{2}$
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{k(1+k)}{2}$ + (k + 1)         (∵ 양변 + (k + 1))
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + 4 + … + k + (k + 1)
    = $\frac{1}{2}$(k + 1){1 + (k + 1)}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

(2)

1. n = 1일 때, 등식이 성립하는지 확인해보죠.

(좌변) = 1

(우변) = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ = $\frac{1(1+1)(2 × 1 + 1)}{6}$ = 1

(좌변) = (우변)이므로 n = 1일 때 등식이 성립해요.

2. n = k일 때 등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

1² + 2² + 3² + 4² + … + k²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ + (k + 1)²
     (∵ 양변 + (k + 1)²)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){k(2k + 1) + 6(k + 1)}
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(2k² + 7k + 6)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
1² + 2² + 3² + 4² + … + k² + (k + 1)²
    = $\frac{1}{6}$(k + 1){(k + 1) + 1}{2(k + 1) + 1}

n = k + 1을 등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 등식이 성립해요.

따라서 이 등식은 모든 자연수 n에 대하여 성립해요.

모든 자연수 n이 아니라 m(m ≥ 2)보다 크거나 같은 자연수 n에 대하여 성립하는지를 증명할 때는 1. 기초단계에서 n = 1일 때가 아니라 n = m일 때로만 바꾸고 나머지는 똑같이 증명하면 돼요.

n ≥ 5인 자연수 n에 대하여 부등식 2ⁿ ≥ n²이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.

1. n = 5일 때,

2⁵ = 32 ≥ 5² = 25

(좌변) ≥ (우변)이므로 n = 5일 때 부등식이 성립해요.

2. n = k (k ≥ 5)일 때 부등식이 성립하면 n = k + 1일 때도 성립하는지 확인해보죠.

2^k ≥ k²
2^k × 2 ≥ k² × 2         (∵ 양변 × 2)
2^k ≥ 2k²

2k² - (k + 1)²
= 2k² - k² - 2k - 1
= k² - 2k - 1
= (k - 2k + 1 - 1) - 1
= (k - 1)² - 2

k ≥ 5일 때, (k - 1)² - 2 ≥ 0이므로 2k² ≥ (k + 1)²

2^{k + 1} ≥ 2k² ≥ (k + 1)² → 2^{k + 1} ≥ (k + 1)²

n = k + 1을 부등식에 대입한 것과 같으므로 n = k + 1일 때도 부등식이 성립해요.

따라서 이 부등식은 n ≥ 5인 자연수에 대하여 성립해요.

수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.

귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?

납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?

정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.

수열의 명시적 정의, 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.

첫 번째 방법은 a_n = 2n + 1처럼 a_n을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.

두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2이라고 해보죠.

첫 번째 항은 1이에요. a₁ = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. a_{n + 1} = a_n + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.

a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n일 때, a₁ = 2라서 첫째항이 2고 a_{n + 1} = 3a_n이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.

여기서 a_{n + 1} = a_n + 2와 a_{n + 1} = 3a_n처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.

등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 a_n = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = a_n + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.

등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 a_n = ar^{n - 1}이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = ra_n (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.

여러 가지 점화식

이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.

(1) a_{n + 1} = a_n + d → a_{n + 1} - a_n = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) a_{n + 1} = raⁿ → a_{n + 1} ÷ a_n = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) a_{n + 1} - a_n = a_{n + 2} - a_{n + 1} → 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} → 등차수열
(4) a_{n + 1} ÷ a_n = a_{n + 2} ÷ a_{n + 1} → (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2} → 등비수열

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오. (단, n = 1, 2, 3, …)
(1) a₁ = 3, a₂ = 6, a_{n + 1} = a_n + 3
(2) a₁ = 3, a₂ = 6, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}

(1) a₁ = 3이고, a_{n + 1} = a_n + 3이므로 이 수열은 첫째항이 3이고, 공차가 3인 등차수열이에요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 + (n - 1)3 = 3n

(2) a₁ = 3, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}이므로 이 수열은 첫째항이 3인 등비수열이에요.

공비를 구해야겠네요.

r = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 × 2^{n - 1}

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)³ - x³ = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ = 3x² + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 2³ - 1³ = 3 × 1² + 3 × 1 + 1
x = 2 → 3³ - 2³ = 3 × 2² + 3 × 2 + 1
x = 3 → 4³ - 3³ = 3 × 3² + 3 × 3 + 1
x = 4 → 5³ - 4³ = 3 × 4² + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)³ - n³ = 3 × n² + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 1³과 마지막 식의 (n + 1)³만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)³ - 1³ = 3(1² + 2² + 3² + 4² + … + n²) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)³ - x³라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)⁴ - x⁴

(x + 1)⁴ - x⁴ = 4x³ + 6x² + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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수열의 합을 나타내는 기호인 시그마(∑) 기호에 대해서 알아봤어요. 숫자들의 합을 시그마(∑) 기호를 이용해서 나타낼 수 있어야 하고, 반대로 시그마(∑)를 보고 식으로 풀어서 쓸 수도 있어야 해요.

이 글에서는 시그마(∑)의 기본 성질에 대해서 알아볼 거예요. 성질이 어떻게 유도되는지 잘 알아두세요. ∑의 성질을 증명하는 방법은 매우 간단해요. 원래 의미 그대로 식으로 풀어서 쓴 다음에 더하는 거지요.

마지막으로 시그마(∑)의 기본성질이 성립하는 조건과 성립하지 않는 조건에 대해서도 알아볼 거예요. ∑를 이용해서 식을 나타낼 때는 ∑의 위아래에 있는 숫자가 작으니까 주의해서 잘 보세요.

시그마 ∑의 성질

∑의 성질을 증명하는 방법은 간단해요. ∑를 원래대로 풀어서 써보는 거죠. 풀어서 쓴 다음 같은 종류끼리 묶고, 묶은 건 다시 ∑로 나타내보는 거예요.

먼저, 합이 k에 대한 두 가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때예요.

각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같아요.

다음은 상수 c가 곱해져 있을 때예요.

상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같아요.

이번에는 k에 대한 식이 아니라 그냥 상수 c일 때예요.

k에 대한 식이 아니라서 모든 항이 c예요. c가 n개만큼 있으니까 그 합은 cn이 되겠죠.

∑의 기본 성질 (c는 상수)

이 성질은 합과 차로 되어 있을 때만 성립해요. 곱이나 나눗셈, 완전제곱일 때는 성립하지 않아요.

첫 번째 성질에서 주의해야 할 게 있어요. 좌우변을 바꿔서 기본 성질을 적용할 때 두 개의 ∑에 있는 각각의 시작 항과 마지막 항이 서로 같아야 해요.

1. a_k와 b_k의 합을 구하는 첫째항이 1, 마지막 항이 n으로 같아서 기본 성질을 이용할 수 있어요.
2. a_k의 합을 구하는 첫째항은 1, b_k의 합을 구하는 첫째항은 2로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.
3. a_k의 합을 구하는 마지막 항은 n, b_k의 합을 구하는 마지막 항은 m으로 서로 달라서 기본 성질을 이용할 수 없어요.

일 때 다음을 구하여라.
(1)
(2)

(1)은 k에 대한 두 식의 합으로 되어 있어요. 그리고 각 식에는 상수 2, 3이 곱해져 있고요. ∑의 성질을 이용해서 모양을 바꿔보죠.

(2)번은 식이 좀 복잡하네요. 각각 전개해서 구하는 방법도 있고, 둘을 하나로 합쳐서 전개하는 방법도 있어요.

두 개의 ∑이 있으니까 하나로 합칠 수 있죠? 하나로 합쳐서 전개해보죠.

답은 같으니까 어떤 방법으로 풀어도 상관없어요.

을 간단히 하여라.

k에 대한 식은 같은데, ∑ 기호 아래에 있는 k의 시작값이 달라요. 그러니까 ∑의 성질을 이용해서 둘을 합칠 수 없어요. 이때는 다른 방법을 이용해요.

은 제1항부터 제10항까지의 합이에요. 이걸 제1항부터 제5항까지의 합과 제6항부터 제10항까지의 합 두 부분으로 나눌 수 있죠?

이걸 처음의 식에 대입해보죠.

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등차수열의 합, 등비수열의 합에 이어 여러 가지 수열의 합이에요. 여기서는 시그마(∑)라는 새로운 기호와 표현법을 공부할 거예요. 시그마가 나타내는 것과 시그마와 관련된 숫자, 문자의 위치가 어디인지 잘 알아두세요. 물론 그 위치에 있는 문자와 숫자가 어떤 의미인지도 잘 알아야 하고요.

처음 보는 이상하게 생긴 기호라 많이 낯설 거예요. 새로운 기호를 공부하므로 기호를 식으로 식을 기호로 바꾸는 연습이 필요합니다. 어렵지는 않으니까 금방 할 수 있을 거예요.

여러 가지 수열의 합

이제까지 수열을 a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_{n - 1}, a_n으로 표현했어요. 그리고 이 수열의 합 S_n은 공식을 이용해서 구했고요. 그런데 등차수열의 합, 등비수열의 합은 제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요. 물론 공식을 잘 활용하면 다른 범위의 수열의 합을 구할 수도 있긴 있죠.

이제부터는 수열의 합을 표현하는 다른 방법을 알아보죠.

예를 들어 "제1항부터 제n항까지의 합을 구하라." 이 말을 간단하게 식으로 나타낼 수 있으면 편하겠죠? 이처럼 말로 길게 써야 하는 수열의 합을 쉽게 나타내는 방법이 있어요.

모양이 좀 이상하게 생겼죠? 저기 가운데 뾰족하게 생긴 걸 "시그마"라고 읽어요. 합이니까 영어로는 sum인데, 첫 글자 s에 해당하는 그리스 문자가 바로 시그마(∑)예요.

시그마를 제외한 나머지 자리에 번호를 붙여봤어요. 번호에 해당하는 내용이 어떤 건지 알아보죠.

①에는 문자가 들어가요. 문자는 k, i 등 어떤 거라도 상관없어요. 다만, 대게 n은 항의 순서를 나타내는 문자라서 n은 잘 사용하지 않아요.

②는 수열의 합을 구할 시작 항의 번호를 써요. 제1항부터 합을 구하려면 1, 제2항부터 합을 구하려면 2를 써요.

③은 수열의 합을 구할 마지막 항의 번호를 써요. 제100항까지 합을 구하려면 100, 제n항까지 합을 구하려면 n을 써요.

④는 수열의 일반항을 써요. 수열의 일반항에서는 n을 이용해서 a_n = (n에 대한 식)의 꼴이었죠? 여기서는 n이 아니어도 상관없는데 반드시 ①에서 사용했던 문자에 대한 식이어야 해요. ①이 k였다면 k에 대한 식, i였다면 i에 대한 식이어야 해요.

n은 항의 순서를 나타내니까 일반항을 나타내는 식에서는 n이라는 문자 대신 k라는 문자를 나타냈어요.

읽을 때는 "시그마 k가 1부터 n까지일 때, a_k" 또는 "k가 1부터 n까지일 때, a_k의 합"이라고 읽어요.

"일반항이 a_n인 수열의 제5항부터 제10항까지의 합을 구하여라."를 간단히 아래처럼 나타낼 수 있겠죠?

다음을 ∑를 사용하여 나타내어라.
(1) 1 + 2 + 3 +  4 + … + 99 + 100
(2) 4 + 7 + 10 + … + 79 + 82

(1)은 자연수네요. 이 수열의 일반항은 a_n = n이에요. 1은 제1항이고 100은 제100항이죠? 그러니까 일반항이 n인 수열의 제1항부터 제100항까지 더하는 거네요.

(2)의 일반항을 구해보죠. d = a₂ - a₁ = 3, a₁ = 4이므로 a_n = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

마지막 항이 82인데, 이게 몇 번째 항인지 알아야겠죠?
3n + 1 = 82
n = 27

일반항이 3n + 1인 수열의 제1항부터 제27항까지의 합을 구하는 거네요.

괄호를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

∑가 사용된 식

이번에는 거꾸로 수열의 합을 나타내는 식을 보고 그 값을 구해보죠.

일단 문자는 k고, 일반항이 k에 대한 식이에요. 시작 항은 2고 마지막 항은 5죠. 일반항이 (k + 1)인 수열의 제2항부터 제5항까지 더하라는 거예요.

a_n: (1 + 1), (2 + 1), (3 + 1), (4 + 1), (5 + 1), …, (n - 1 + 1), (n + 1)

a₂ ~ a₅까지 더하는 거니까 3 + 4 + 5 + 6 = 18이네요.

이처럼 수열을 쓰고 해당하는 항을 더할 수도 있지만, 더 쉽게 하려면 (k + 1)이라는 식의 k자리에 2부터 5까지 대입해서 얻은 항들을 더해서 바로 구할 수도 있어요.

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원리합계, 단리와 복리 두 번째예요. 상용로그에서 했던 것까지 따지면 세 번째죠. 여기서는 복리에 대해서 알아볼 거예요. 복리의 정의와 복리를 구하는 방법은 앞서 공부했던 내용과 같아요.

단리에 관련된 문제는 잘 나오지 않아요. 복리에 대한 문제가 많이 나오는데 이게 한 번에 하려면 너무 어려울 수 있어서 기본적인 건 단리에서 다루었어요. 단리와 복리의 차이만 있을 뿐 그 외에는 아무런 차이가 없거든요. 그러니까 복리에 대해서 제대로 이해하려면 앞서 단리에서 했던 내용을 완전히 이해하고 있어야 합니다.

등비수열의 활용

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 공부했던 단리에서 원금을 처음에 한 번만 넣는 경우와 매년 넣는 경우를 살펴봤죠? 원금을 매년 넣는 것도 매년 초에 넣는 것과 매년 말에 넣는 걸 공부했어요. 여기서도 똑같습니다. 처음 한 번만 넣는 경우, 매년 초에 넣는 경우, 매년 말에 넣는 경우의 세 가지를 알아보죠.

먼저 원금을 처음 한 번만 넣는 경우를 보죠. 이건 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용이에요.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣는다고 해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만원 + 100만원 × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)
2년 후: 100만원(1 + 0.05) + 100만원(1 + 0.05) × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)²
3년 후: 100만원(1 + 0.05)² + 100만원(1 + 0.05)² × 0.05 = 100만원(1 + 0.05)²(1 + 0.05) = 100만원(1 + 0.05)³
10년 후: 100만원(1 + 0.05)¹⁰

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년 동안 복리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년 동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 복리로 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05)¹⁰이에요.

두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹죠.

세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05)¹이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05), 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)¹⁰

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05)¹⁰, 공비가 (1 + 0.05)인 등비수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05)ⁿ

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등비수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫째항이 a, 마지막 항이 l, 등비가 r인 등비수열의 합은  공식에 넣어서 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
a_n = a(1 + r)ⁿ
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

수열의 활용 - 원리합계. 단리와 복리 1에서 했듯이 매년 1월 1일에 넣으면 넣는 햇수만큼 이자를 모두 받을 수 있지만, 연말에 넣으면 마지막 해의 이자를 받을 수 없어요. 총 기간에서 마지막 1년을 뺀 기간만 이자를 받는 거죠.

이번에는 매년 말인 12월 31에 100만 원을 연이율 5%의 이율로 10년간 복리로 넣는다고 해볼까요?

여기서도 해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년 치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁹

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년 치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05)⁸

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05)⁰ = 100만 원

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05)⁹, 100만 원(1 + 0.05)⁸, …, 100만 원(1 + 0.05)², 100만 원(1 + 0.05), 100만 원

거꾸로 써보죠.
100만 원, 100만 원(1 + 0.05)¹, 100만 원(1 + 0.05)², …, 100만 원(1 + 0.05)⁸, 100만 원(1 + 0.05)⁹

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05)⁹인 등비수열이에요. 공비는 (1 + 0.05)이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원(1 + 0.05)^{n - 1}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등비수열의 합 공식

 공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 복리로 예금했을 때: 등비수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + r)ⁿ
매년 말에 입금하면 a_n = a(1 + r)^{n - 1}
원리합계는 등비수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

단리면 등차수열, 복리면 등비수열이에요. 매년 초에 입금할 때와 매년 말에 입금할 때의 일반항은 모양은 같은데, 지수가 하나는 n, 다른 하나는 n - 1이고요. 이 두 가지만 기억하면 돼요.

매년 초에 50만 원씩 연이율 3%로 5년간 복리로 예금할 때, 5년 뒤에 받는 원리합계를 구하여라. (1.03⁵ ≒ 1.1592)

매년 초에 입금하네요. 해마다 넣는 돈이 5년 뒤에 얼마가 되는지 차례대로 써보죠. 첫해에 입금하는 돈은 5년간 이자를 받을 수 있어요.

첫해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵
두 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴
세 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)³
네 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)²
다섯 번째 해에 넣는 돈: 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹

이 수열의 순서를 바꿔보죠.

5 × 10⁵(1 + 0.03)¹, 5 × 10⁵(1 + 0.03)², 5 × 10⁵(1 + 0.03)³, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁴, 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵

첫째항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)¹이고 마지막 항이 5 × 10⁵(1 + 0.03)⁵, 공비가 (1 + 0.03)인 등비수열이에요.

원리합계가 이 등비수열의 합과 같으므로 등비수열의 합 공식을 이용해서 구해보죠.

5년 뒤의 원리합계는 약 2,732,933원입니다.

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상용로그의 활용, 단리와 복리

단리와 복리는 상용로그의 활용에서 해봤어요. 상당히 까다로운 문제였죠? 수열에서 공부하는 단리와 복리는 그보다 조금 더 까다로워요. 원리는 같은데 돈을 넣는 횟수가 많고 돈을 언제 넣느냐에 따라서 그 결과가 달라지거든요. 문제를 풀 때 돈을 넣는 횟수와 돈을 넣는 시기 두 가지를 잘 구별해야 합니다.

단리와 복리에서 돈을 넣는 횟수와 시기에 따라 결과가 왜 달라지는지 이해를 잘해야 해요. 상당히 어렵습니다. 집중해서 잘 보세요. 여기서는 상대적으로 계산이 간단한 단리를 이용해서 설명할게요.

등차수열의 활용

단리와 복리는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 공부했었죠? 단리는 원금에 일정한 이자를 더하는 거고, 복리는 원금은 물론 이자에도 이자를 더하는 거예요.

상용로그에서 공부했던 단리, 복리와 수열에서 공부하는 단리, 복리는 기본적으로 의미는 같지만, 한 가지 중요한 차이가 있어요. 상용로그에서의 단리, 복리는 원금을 처음 딱 한 번만 입금해요. 처음에 딱 한 번만 넣고 5년이든 10년이든 일정한 지났을 때의 금액을 구하는 거죠. 수열의 단리, 복리에서는 원금을 처음에 한 번만 넣는 게 아니라 매달 또는 매년 넣어요. 첫해에 돈을 넣고, 두 번째 해에 또 넣고, 세 번째 해에 또 넣어요. 각 해에 넣는 돈에 모두 이자가 붙는 거죠.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 단리로 넣는다고 해보죠.

이 경우는 처음에 한 번만 넣어요. 그러니까 상용로그에서 했던 것처럼 10년 뒤의 금액을 구해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만 원 + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05)
2년 후: 100만 원(1 + 0.05) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 2)
3년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 2) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 3)
10년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 9) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 10)

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

여기까지는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용 그대로예요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 넣는 연이율 5%인 예금을 10년 동안 단리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

이건 한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

이번에는 두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 10년 중 1년이 지났으니까 이 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)죠.

이번에는 세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05 × 1)이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 10), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 10)

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05 × 1)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05 × 10), 공차가 100만 원 × 0.05인 등차수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05 × n)

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등차수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫 항이 a, 마지막 항이 l인 등차수열의 합은 이므로 공식에 넣어보면 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
a_n = a(1 + rn)
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

똑같은 상황을 조금만 바꿔보죠. 다른 건 다 똑같고, 매년 말인 12월 31에 100만 원을 넣는다고 해볼까요?

예를 들어 2014년 1월 1일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31일이에요. 그런데 연말인 2014년 12월 31일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31이죠. 햇수로 10년이지만 정확하게 날짜로 계산하면 9년밖에 안 돼요. 그러니까 이자는 9년치 이자만 받을 수 있어요.

매년 1월 1일에 넣는 것과 매년 12월 31일 넣는 것의 차이를 이해했나요?

여기서도 매해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05 × 0)

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 0)

거꾸로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 0), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9)

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05 × 9)인 등차수열이에요. 공차는 100만 원 × 0.05이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원{1 + 0.05 × (n - 1)}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등차수열의 합  공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + rn)
매년 말에 입금하면 a_n = a{1 + r(n - 1)}
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

돈을 한 번만 입금하는지 매년 입금하는지 잘 살펴야 해요. 그리고 연초에 입금하는지 연말에 입금하는지도 잘 구별해야 하고요.

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상용로그의 활용, 단리와 복리
등차수열, 등차수열의 일반항
등차수열의 합, 등차수열의 합 공식

등비수열의 합과 등비수열의 일반항의 관계는 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계에서 했던 내용의 반복이에요. 수열만 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것뿐이에요.

등차수열의 합을 나타내는 식을 보면 등차수열의 제1항과 공차를 바로 구할 수 있었죠? 여기서도 등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 공비를 바로 구하는 방법을 알아볼 거예요. 더 나아가 등비수열의 일반항을 바로 구하는 공식도 공부할 거고요.

합에 대한 식만 주어졌을 때 이 식이 등비수열의 합을 나타내는 식인지 아는 방법도 알아볼 거예요.

등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계에서 했던 것처럼 등비수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등비수열의 합을 이용해서 등비수열의 일반항을 구할 수 있어요.

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 a_n = S_n - S_{n - 1}은 제2항부터 나타낼 수 있어요.

그럼 제1항부터 일반항 a_n으로 나타낼 수 있는지 확인하려면 어떻게 해야 할까요? a_n에 n = 1을 대입해서 S₁과 값이 같으면 제1항도 일반항 a_n으로 나타낼 수 있어요.

등비수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2인 자연수)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → a_n = S_n - S_{n - 1} (n ≥ 1인 자연수)

등비수열의 합을 보고 일반항 구하기

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 등비수열의 합 공식을 전개해보죠.

a, r은 상수니까

이라고 한다면 식을 아래처럼 바꿀 수 있어요.

S_n = Arⁿ - A

어떤가요? 등비수열의 합에서 rⁿ의 계수와 상수항을 더하면 0이라는 걸 알 수 있어요.

이렇게 간단하게 쓴 등비수열의 합 공식을 이용해서 등비수열의 일반항 a_n을 구해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = (Arⁿ - A) - (Ar^{n - 1} - A)
    = Arⁿ - Ar^{n - 1}
    = rAr^{n - 1} - Ar^{n - 1}
    = Ar^{n - 1}(r - 1)
    = A(r - 1)r^{n - 1}

이 방법은 n ≥ 2인 일반항을 나타내는 식이에요. 그런데 n = 1일 때도 이 일반항으로 나타낼 수 있으면 좋겠죠? a_n에 n = 1을 대입해서 S₁과 값이 같은지 확인해보죠.

a_n = A(r - 1)r^{n - 1}
a₁ = A(r - 1)r^{1 - 1} = A(r - 1)

그다음 S_n = Arⁿ - A에도 n = 1을 대입해요.

a₁ = S₁ = Ar¹ - A = A(r - 1)

두 방법으로 구한 a₁이 서로 같아요. 그러니까 이 방법은 n ≥ 2일 때뿐 아니라 n = 1일 때도 사용하는 방법이에요.

등비수열의 합을 나타내는 식을 보고 등비수열의 일반항을 바로 구할 수 있어요. 공식으로 외워두면 좋은데 굳이 외우지 않아도 상관은 없어요.

예를 들어 S_n = 10ⁿ - 1이 주어졌다고 해보죠.

S_n = 10ⁿ - 1 = 1 × 10ⁿ - 1로 10ⁿ의 계수 1과 상수항 -1을 더하면 0이니까 이 식은 등비수열의 합을 나타내는 식이에요. A = 1, r = 10이죠.

따라서 a_n = A(r - 1)r^{n - 1} = 1 × (10 - 1)10^{n - 1} = 9 × 10^{n - 1}라는 걸 바로 구할 수 있어요.

등비수열의 합은 S_n = Arⁿ - A꼴
이때, a_n = A(r - 1)r^{n - 1}

S_n = 4^{n - 2} + x가 등비수열의 합을 나타낸 식일 때 x를 구하여라.

합을 나타내는 식이 S_n = Arⁿ - A꼴이면 등비수열이에요.

S_n = 4^{n - 2} + x = 4^-2 × 4ⁿ + x

제1항부터 제n항까지의 수열의 합이 다음과 같을 때 일반항 a_n를 구하여라.
(1) 2ⁿ - 1
(2) 3^{n + 1} - 3

수열의 합이라고 알려줬는데 어떤 수열인지부터 알아야겠죠? S_n = Arⁿ - A꼴이면 등비수열이에요.

(1) S_n = 2ⁿ - 1 = 1 × 2ⁿ - 1

등비수열의 합이고 A = 1, r = 2이네요.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2ⁿ - 1 - (2^{n - 1} - 1)
    = 2ⁿ - 2^{n - 1}
    = 2 × 2^{n - 1} - 2^{n - 1}
    = 2^{n - 1}

n ≥ 2일 때는 일반항으로 나타낼 수 있는데, a₁도 이 일반항으로 나타낼 수 있는지 알아보죠.

a₁ = S₁ = 2¹ - 1 = 1

a_n = 2^{n - 1}
a₁ = 2^{1 - 1} = 1

S₁를 이용해서 구한 a₁과 a_n에 n = 1을 대입해서 구한 a₁이 같으니까 모든 항을 일반항 a_n으로 나타낼 수 있네요.

그래서 답은 a_n = 2^{n - 1}

(2) S_n = 3^{n + 1} - 3 = 3 × 3ⁿ - 3

S_n = Arⁿ - A꼴로 A = 3, r = 3인 등비수열의 합을 나타내는 식이네요.

공식으로 한 번 풀어볼까요?

S_n = Arⁿ - A일 때, a_n = A(r - 1)r^{n - 1}

a_n = 3(3 - 1)3^{n - 1} = 6 × 3^{n - 1} = 2 × 3ⁿ

이 공식은 유도과정에서 이미 a₁도 일반항 a_n으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했으니까 굳이 확인할 필요가 없어요.

따라서 답은 a_n = 6 × 3^{n - 1}

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등비수열에 대해서 알아봤으니까 이제는 등비수열의 합에 대해서 알아보죠.

등비수열의 합 공식은 등차수열의 합 구하는 공식과 유도 과정이 비슷하지만 달라요. 어떤 점이 다른지 잘 보세요. 등차수열의 합 공식은 두 가지가 있었는데, 사실은 같은 거였어요. 등비수열의 합 공식은 세 개인데 두 개는 서로 같고 하나는 다른 공식이에요. 공비에 따라 공식이 달라지는데 왜 그런지를 잘 이해하세요.

등차수열의 합 문제와 등비수열의 합 문제는 공식만 다를 뿐 거의 비슷해요. 그리고 공식을 적용해서 계산할 때 조금 더 쉽게 계산할 수 있는데, 이건 연습을 통해서 감을 익혀야 합니다.

등비수열의 합

등차수열의 합을 구할 때는 S_n을 원래 순서대로 한 번, 순서를 바꿔서 한 번 더해서 2로 나눠서 구했어요.

S_n = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^{n - 2} + ar^{n - 1}
S_n = ar^{n - 1} + ar^{n - 2} + … + ar³ + ar² + ar + a

등차수열에서는 원래 순서대로 더한 것과 거꾸로 더한 것에서 같은 자리에 있는 항을 더하면 모두 값이 같았는데, 등비수열에서는 그렇지 않죠? 등비수열의 합은 다른 방법으로 구해요.

어떻게 하느냐면 순서를 거꾸로 바꿔서 더하는 대신에 S_n에 공비 r을 곱해서 빼는 거예요.

아래에 나온 것처럼 S_n에 공비 r을 곱하면 S_n의 제2항은 rS_n의 제1항과 같고, S_n의 제3항은 rS_n의 제2항과 같죠? 같으니까 그냥 빼면 없어져 버려요.

S_n - rS_n = (1 - r)S_n = a - arⁿ

r ≠ 1이면 양변을 (1 - r)로 나눌 수 있죠?

r = 1이면 양변을 나눌 수 없어요. 다른 방법을 찾아야 해요. 그냥 a_n를 죽 쓰고 더해보죠.

S_n = a + ar + ar² + … + ar^{n - 1}
    = a + a + a + … + a            (∵ r = 1)
    = na

r ≠ 1일 때 공식은 일반항을 이용한 공식인데, 마지막 항 a_n = ar^{n - 1} = l이라고 하면 공식이 어떻게 바뀌는지 구해보죠.

을 전개해볼까요?

r ≠ 1일 때 2개의 공식, r = 1일 때 1개의 공식을 얻었어요.

제1항이 a, 공비가 r인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n


제1항이 a, 공비가 r, 마지막 항이 l인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n

다음 등비수열의 합을 구하여라.
(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합
(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024
(3) 제1항부터 제3항까지의 합이 -3, 제1항부터 제6항까지의 합이 21일 때, 제1항부터 제9항까지의 합을 구하여라.

(1) 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 제1항부터 제5항까지의 합을 공식에 바로 대입해보죠.

121이네요.

(2) 2, 4, 8, 16, 32, …, 1024는 첫째항이 2이고 공비가 2 마지막 항이 1024인 등비수열이네요.

마지막 항이 있는 공식을 이용해 볼까요?

아니면 1024가 몇 번째 항인지부터 구해서 합을 얻을 수도 있어요.

2ⁿ = 1024 → n = 10

(3) 이게 어려운 문제예요. 풀이 과정을 잘 봐두세요.

제1항부터 제3항까지의 합이 -3을 식으로 나타내면

제1항부터 제6항까지의 합이 21을 식으로 나타내면

식이 두 개고 모르는 문자도 2개인데, 차수가 너무 커서 일반적인 연립방정식으로 풀기는 어려워요. 이때는 어떻게 하느냐면 식 하나를 인수분해한 다음 다른 식을 대입해요.

r = -2를 구했으니까 두 식 중 아무 식에나 대입해서 a를 구할 수도 있어요.

a와 r을 구했으니까 등비수열의 합 공식에 대입해보죠.

답은 -171이네요.

이 문제는 r = -2를 바로 구할 수 있는 문제고요. 때에 따라서는 r을 바로 구하지 못할 때도 있어요. 이때의 풀이법을 알아보죠.

r을 구했던 식으로 돌아가죠.

r³ + 1 = -7
r³ = -8

r = -2를 바로 구할 수 있지만 구할 수 없다고 가정하고 풀어볼게요.

제1항부터 제9항까지의 합을 식으로 나타내면

이 문제에서는 r³ = -8 → r = -2를 구할 수 있어서 이 과정이 굳이 필요 없지만, 문제에 따라서 r³ = -7처럼 r을 바로 구하지 못하는 경우가 있어요. 이럴 때에도 문제를 풀려면 위 과정을 이해해야 해요.

되게 어려운 문제인데, 문제에 나온 설명대로 식을 세우고, 한 식을 인수분해한 다음 다른 식을 대입하는 방법으로 풀어요.

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이제까지 등차수열을 공부했는데, 이제는 등비수열에 대해서 공부할 거예요.

이름만 잘 봐도 둘의 차이를 알 수 있어요. 등차수열과 등비수열에서 다른 건 "차"가 "비"로 바뀐 것뿐이에요. 이 점만 잘 생각해보면 등차수열에서 했던 내용을 바탕으로 해서 쉽게 공부할 수 있어요.

등차수열에서도 등차수열의 뜻과 일반항, 등차중항을 공부했듯이 여기서도 등비수열의 뜻과 등비수열의 일반항, 등비중항에 대해서 알아보죠.

등비수열

1, 2, 4, 8, 16, …은 어떤 특징이 있나요? 바로 앞항에 2를 곱해서 얻어지는 항을 죽 적어놓은 수열이에요.

등차수열은 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이라면 등비수열은 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요.

등차수열에서 더해지는 일정한 수를 공차라고 하죠? 등비수열에서 곱해지는 일정할 수를 공비라고 해요. 공차는 공통된 차이, 공비는 공통된 비를 뜻하죠. 등차수열에서 등비수열로 바뀐 것처럼 공차도 공비로 바뀌었어요.

1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

제1항 = 1
제2항 = 제1항 × 2 = 2
제3항 = 제2항 × 2 = 4
제4항 = 제3항 × 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 곱해서 새로운 항을 얻었으니까 공비는 2이에요.

등비수열에서 등비(等比)는 비가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 비, 제2항과 제3항의 비, …, 제(n - 1)항과 제n항의 비, …가 같아요. 이 비가 바로 공비예요. 보통 비는 비례로 나타내기도 하지만 분수로 나타내기도 하죠? 여기서는 비를 분수를 이용해서 구해요.

다시 1, 2, 4, 8, 16, …을 보죠.

각 항과 바로 앞의 항의 비가 모두 2로 같아요. 그러니까 공비가 2인 거죠.

등비수열은 Geometric Progression을 줄여서 G.P라고 하고 공비(Common Ratio)는 r이라고 나타내요.

주의할 점은 첫째항 a₁ ≠ 0이에요. 첫째항이 0이라면 어떤 수를 곱해도 모든 항이 다 0이 되어버리죠. 그리고 공비 ≠ 0이에요. 공비가 0이라면 첫째항이 어떤 항이더라도 나머지 모든 항이 0이 되어버려요. 따라서 별다른 얘기가 없다면 등비수열에서 첫째항 a₁과 공비 r은 0이 아니에요. 첫째항과 공비가 0이 아니니까 모든 항이 0이 아니겠죠?

등비수열: 첫째항에 일정한 수를 곱해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공비(r): 각 항에 곱해지는 일정한 수

(단, a₁ ≠ 0, r ≠ 0)

등비수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. r은 공비고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ × r
a₃ = a₂ × r = (a₁ × r) × r = a₁ × r²
a₄ = a₃ × r = (a₁ × r²) × r = a₁ × r³
a₅ = a₄ × r = (a₁ × r³) × r = a₁ × r⁴
a_n = a_{n - 1} × r = {a₁ × r^{(n - 2)}} × r = a₁ × r^{(n - 1)}

마지막 줄을 보면 등비수열의 일반항 a_n = a₁ × r^{n - 1}라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공비를 알면 등비수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항
a_n = ar^{n - 1}      (단, n은 자연수)

다음 등비수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, r = -2
(2) a₂ = -10, a₅ = 10
(3) 2, 6, 18, 54, 162, …

제1항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요.

(1) 제1항과 공비를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 20 × (-2)^{(n - 1)} = 5 ×(-2)² × (-2)^{n - 1} = 5 × (-2)^{n + 1}

(2)번은 공비를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 다섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공비를 구해보죠.

a_n = ar^{n - 1}
a₂ = ar^{2 - 1} = -10
ar = -10

a_n = ar^{n - 1}
a₅ = ar^{5 - 1} = 10
ar⁴ = 10

두 식을 나누면 r³ = -1 → r = -1

r = -1을 대입하면 a = 10이 나와요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 10 × (-1)^{n - 1}

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공비는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 앞의 항을 뒤의 항으로 나눠주면 구할 수 있어요.

제1항이 2, 공비가 3이네요.

a_n = ar^{n - 1}
a_n = 2 × 3^{n - 1}

등비수열 3, 9, 27, 81, …에서 처음으로 10,000보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라. (단, log3 = 0.4771)

먼저 일반항을 구해야겠네요.

a_n= ar^{n - 1} = 3 × 3^{n - 1} = 3ⁿ

3ⁿ이 10,000보다 클 때니까 부등식을 세워보죠.

n은 자연수니까 8.3840보다 큰 9일 때 10,000보다 크네요. 따라서 답은 제9항입니다.

등비중항

등차중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등차중항이고 였어요.

등비중항은 세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때 가운데 b가 a, c의 등비중항이에요.

공비를 r이라고 하면 b = ar, c = br이죠.

등비중항
세 수 a, b, c가 순서대로 등비수열을 이룰 때, b는 a, c의 등비중항
b² = ac

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등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 a_n이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 a_n이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 a_n이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 a_n, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a₁, a₂, a₃, … , a_n, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a₁, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d죠?

그런데 a_n는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a₁이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a₂ - a₁로 구해요. 하지만 여기서도 a₁, a₂는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.

이걸 공식에 대입해보죠.

이건 조화수열의 일반항 a_n이 아니라 역수인 등차수열의 일반항 이에요. 이렇게 구한 결과의 양변을 역수로 취한 것이 우리가 구하려고 하는 조화수열의 일반항이에요.

조화수열의 일반항을 구하는 방법을 정리하면 아래와 같아요.

1. 조화수열의 일반항 a_n의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
2. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
3. 등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 a_n으로 바꾼다.

다음 조화수열의 일반항을 구하여라.

조화수열이니까 그 역수가 등차수열을 이뤄요. 등차수열로 적어보죠.

첫째항이 2이고 공차 d = 4 - 2 = 2인 등차수열이네요.

등차수열의 일반항이 이니까 역수를 취하면 조화수열의 일반항은 이에요.

조화중항

등차수열에는 등차중항이라는 게 있었어요. 조화수열에도 조화중항이 있어요.

세 수 a, b, c가 차례로 조화수열을 이룰 때, b가 a, c의 조화중항이에요.

조화중항을 구하는 방법은 조화수열의 일반항 구할 때와 같아요. 역수를 취해서 등차중항을 구한 다음 다시 역수를 취해요.

역수를 취해보죠.

역수를 취하면 이 세 역수는 순서대로 등차수열을 이루고, 여기서 은 의 등차중항이에요. 등차중항은 두 수의 산술평균이죠?

세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때

b는 a, c의 조화중항

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등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

그림으로 표현해볼까요?

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

a_n에 n = 1을 대입해서 S₁와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 a_n에 n = 1을 대입한 값과 S₁의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
(a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.

S_n을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a₁ = S₁인데 S₁ = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 a_n = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

제n항 a_n = S_n - S_{n - 1}이에요. 대입해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n - {2(n - 1)² + 3(n - 1)}
    = 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n² + 3n - 2n² + n + 1
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 S_n = An² + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5로 S₁과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n + 4일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 S_n에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n + 4 - {2(n - 1)² + 3(n - 1) + 4}
    = 2n² + 3n + 4 - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n² + 3n + 4 - 2n² + n - 3
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 + 4 = 9

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5 ≠ S₁ = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

S_n에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.

아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.

문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.

등차수열의 합

등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①

바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②

순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11

①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.

식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.

① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55

1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.

더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.

이번에는 등차수열 a_n의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 S_n이라고 해보죠.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n - 1} + a_n

첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 a_n을 l이라고 해보죠.

a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + 2d
a₄ = a + 3d
a_{n - 1} = a + (n - 2)d = l - d
a_n = a + (n - 1)d = l

위 내용을 S_n에 대입해요.

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③

우변은 a₁부터 a_n까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?

S_n = l + (l - d) + (l - 2d) +  … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④

두 식을 더해보죠.

제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.

원래 마지막 항 l = a_n = a + (n - 1)d니까 대입해보면,

등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:

다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합

(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.

a₁₀ = a + 9d = 17
a₂₀ = a + 19d = 37

연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.

합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.

답은 360이네요.

(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.

2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)

집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.

2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.

a_n = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45

2의 배수의 수열의 합 =

5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18

5의 배수의 수열의 합 =

10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9

10의 배수의 수열의 합 =

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925

(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.

제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.

제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.

첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:

제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 b_n을 생각할 수 있겠죠?

b₁ = a₁₁ = a + 10d
b₁₀ = a₂₀ = a + 19d

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (b₁ ~ b₁₀까지의 합)

a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.

a = 3, d = 2가 나오네요.

a₂₁ = c₁, a₃₀ = c₁₀인 새로운 수열 c_n을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합) = (c₁ ~ c₁₀까지의 합)

c₁ = a₂₁ = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c₁₀ = a₃₀ = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61

제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.

이걸 새로운 수열 b_n, c_n를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.

제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.

제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (a₁ ~ a₂₀까지의 합) - (a₁ ~ a₁₀까지의 합)

마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.

여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.

마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합)
= (a₁ ~ a₃₀까지의 합) - (a₁ ~ a₂₀까지의 합)

답은 똑같이 520이 나와요.

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