지수함수와 지수함수의 그래프를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.
지수함수 y = ax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.
- a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x1 < x2이면, y1 < y2
- 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x1 < x2이면, y1 > y2
그래프를 생각하면 쉬워요.
a > 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y도 커요.
0 < a < 1일 때, 지수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.
대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 지수 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 지수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.
다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 24, $8^{\frac{6}{5}}$
(2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$, $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$
(1)
24
\[
\begin{align}
& 8^{\frac{6}{5}}=(2^{3})^{\frac{6}{5}}=2^{\frac{18}{5}}
\end{align}
\]
지수를 비교해보죠. 4 > $\frac{18}{5}$로 4가 더 커요
밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x1 < x2이면, y1 < y2
지수가 크면 수가 더 크니까 24 > $8^{\frac{6}{5}}$이에요.
(2)
\[
\begin{align}
& \left(\frac{1}{3}\right)^{2}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
& \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}=
\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\right)^{\frac{8}{9}}=
\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{8}{3}}
\end{align}
\]
지수를 비교해보죠. 2 < $\frac{8}{3}$로 $\frac{8}{3}$이 더 커요.
밑이 로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x1 < x2이면, y1 > y2
지수가 크면 수가 더 작으니까 $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$ > $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{8}{9}}$ 이에요.
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