수학방

지수와 지수법칙, 지수함수에 이어 지수방정식이에요. 방정식은 이제까지 정말 많이 다뤘던 거니까 생소하지는 않죠?

지수방정식은 다른 방정식에 비해서 조금 더 쉽다고 할 수 있어요. 식 자체가 고차방정식보다 단순하거든요. 그리고 이차방정식, 고차방정식은 여러 가지를 공부했는데 지수방정식은 이 글 하나만 하면 끝나니까 양도 적지요.

지수의 조건과 방정식의 풀이라는 두 가지를 잘 조합하면 의외로 쉽게 풀 수 있는 단원이니까 천천히 한 번 읽어보세요.

지수방정식

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 그러니까 지수방정식은 이름 그대로 지수에 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠.

지수에 미지수가 있으면 지수방정식, 지수가 아닌 밑에 미지수가 있으면 지수방정식이 아니에요. 2^x = 4는 지수에 미지수가 있으니까 지수방정식이고 x² = 4는 밑에 미지수가 있는 이차방정식이에요. 둘을 잘 구별하세요.

지수함수, 지수함수의 그래프 y = a^x에서 밑 a가 모든 실수는 아니었죠? a > 0이고 a ≠ 1이었어요. 지수방정식에서도 밑은 양수이고 1이 아니에요.

지수방정식의 풀이

3^x = 9를 어떻게 풀까요?

간단히 하면 3^x = 9 = 3²니까 x = 2라는 답을 구할 수 있어요.

두 수가 같을 때, 밑이 같으면 지수도 같아야 하죠. 반대로 생각하면 두 수가 같을 때, 지수가 같다면 밑이 같아야 같아야 하고요.

이 두 가지가 기본적인 풀이법이에요.

a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x)
a^f(x) = b^f(x) → a = b

첫 번째에서 만약에 a = 1이라면 어떻게 되나요? f(x) ≠ g(x)여도 1^f(x) = 1^g(x) = 1이에요. 사실 이런 경우는 거의 없어서 별로 신경 쓰지 않아도 되지만 혹시 밑에도 미지수가 있다면 a = 1인지 아닌지 확인해봐야 해요.

두 번째에서 f(x) = 0이라면 어떻게 될까요? (양수)⁰ = 1이에요. a ≠ b여도 a^f(x) = b^f(x) = 1이 되지요. 따라서 f(x) = 0인지 아닌지도 확인해야 해요.

정리해보죠.

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식
밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

다음 지수방정식을 풀어라.
(1) 2^{x + 1} = 4³
(2)
(3)
(4) (x - 1)^{x + 2} = 5^{x + 2}

양변이 같을 때, 밑이 같으면 지수가 같고, 지수가 같으면 밑이 같아요. 그리고 지수가 0으로 같은지도 확인해야 하고요.

(1) 밑이 같게 식을 바꿔보죠.

2^{x + 1} = 4³
2^{x + 1} = (2²)³
2^{x + 1} = 2⁶

밑이 2로 같아요. 그러니까 지수가 같아야 하죠.

x + 1 = 6
x = 5

밑이 로 같으니까 지수를 비교해보죠.

2x + 4 = -2
x = -3

밑이 5로 같으니까 지수를 비교해보죠.

(4) 밑이 다르고 지수가 같아요. 이때는 지수가 0으로 같을 때와 밑이 같을 때로 나눠서 봐야 하죠.

ⅰ) 지수가 0일 때

x + 2 = 0
x = -2

ⅱ) 지수가 0이 아니고 밑이 같을 때

x - 1 = 5
x = 6

x = -2 or 6

이제까지는 항이 2개일 때를 봤어요. 항이 3개일 때도 있는데 풀이법이 달라요. 항이 3개면 치환을 이용해서 풀어요.

식에서 a^x = t로 치환하고 t에 대한 방정식을 푸는 거죠. 단 a > 0이고 a ≠ 1이니까 a^x > 0이라서 t > 0이에요.

지수방정식의 풀이법 2
a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16의 해를 구하여라.

항이 3개 이상인데 상수항을 계산하면 항이 3개예요. 치환할 수 있게 정리해보죠.

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16
(2²)^x + 2² × 2^x - 32 = 0
(2^x)² + 4 × 2^x - 32 = 0

여기서 2^x = t로 치환해보죠.

t² + 4t - 32 = 0
(t - 4)(t + 8) = 0
t = 4 or -8

2^x = 4 or -8

2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

2^x = -8
2^x > 0이므로 2^x = -8이 될 수 없다.

따라서 해는 x = 2

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지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

지수함수 그래프의 평행이동과 지수함수 그래프의 대칭이동이에요. 중학교 3학년 때 이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동을 공부했었죠? 함수의 종류만 달라졌을 뿐 그래프의 평행이동, 대칭이동이라는 건 똑같아요.

게다가 도형의 평행이동, 대칭이동은 1학년 때 공부했잖아요. 이 내용을 그냥 지수함수의 그래프에 적용한 것뿐이에요.

새로운 내용도 아니고 이미 공부했던 걸 아주 살짝 확장하는 것이니까 그냥 한 번 죽 읽어보세요.

지수함수 그래프의 평행이동

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 평행이동하면 어떻게 될까요? 점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 지수함수의 그래프에 적용해보죠.

일단 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요.

점을 평행이동하면 이동한 만큼 원래 점의 좌표에 더해줘요. (x, y)라는 점을 x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그 결과는 (x + p, y + q)예요.

도형의 평행이동에서 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 f(x - p, y - q) = 0이 된다고 했어요. x 대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하죠.

f(x, y) = 0의 평행이동
x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. f(x - p, y) = 0
y축 방향으로 q만큼 평행이동: y 대신 y - q. f(x, y - q) = 0
x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. f(x - p, y - q) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 어떤 특징이 있었나요? 그래프 자체뿐 아니라 꼭 지나는 점이 있었어요. (0, 1)과 (1, a)죠. 이 점도 평행이동하죠? 이동한 만큼 더해줘요.

그리고 점근선이 있었죠? 점근선은 x축 즉 y = 0이라는 직선이었어요. 이 직선은 x축 방향으로 평행이동해도 똑같아요. y축 방향으로 평행이동할 때는 y = 0 대신 y - p = 0이니까 y = p가 되지요.

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p를 넣어줘요.
y = a^x → y = a^{x - p}
(0, 1) → (p, 1), (1, a) → (1 + p, a)
점근선: y = 0 → y = 0

지수함수 y = a^x의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 넣어요.
y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
(0, 1) → (0, 1 + q), (1, a) → (1, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y 대신 y - q를 넣어줘요.
y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q
(0, 1) → (p, 1 + q), (1, a) → (1 + p, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

이건 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지, 원래 식에 뭘 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 평행이동

y = ax의 그래프	y = ax - p의 그래프
y = ax + q의 그래프	y = ax - p + q의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

지수함수 그래프의 대칭이동

이번에는 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 알아보죠.

이것 역시 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용을 지수함수의 그래프에 적용하는 거예요.

f(x, y)= 0의 대칭이동
x축에 대하여 대칭이동: y 대신 -y. f(x, -y) = 0
y축에 대하여 대칭이동: x 대신 -x. f(-x, y) = 0
원점에 대하여 대칭이동: x 대신 -x, y 대신 -y. f(-x, -y) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를
x축에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^x → y = -a^x
y축에 대하여 대칭이동 하면 y = a^-x
원점에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^-x → y = -a^-x

지수함수의 그래프에서 y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이라는 걸 공부했었죠?

이것도 역시 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지 식에 어떻게 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 대칭이동

y = ax의 그래프	y = a-x의 그래프
y = -ax의 그래프	y = -a-x의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

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[고등수학/고1 수학] - 대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)

지수법칙에 이어 지수함수예요. 지수함수는 이름 그대로 지수를 이용한 함수예요.

x가 증가할 때 y는 증가하는지 감소하는지, 그래프가 어느 방향으로 향하는지, 반드시 지나는 점이 있는지 등 함수의 그래프를 공부할 때 알아야 하는 성질이 몇 가지 있죠? 지수함수의 그래프에서도 똑같이 그런 특징들을 알아볼 거예요.

그러니까 지수함수는 앞에서 했던 지수가 실수일 때 지수법칙, 일반적인 함수와 그래프의 두 내용이 섞여서 나와요. 이미 알고 있는 두 내용이니까 잘 읽어보면 이해하는 게 그렇게 어렵지는 않을 거예요.

지수함수

a > 0일 때, 임의의 실수 x에 대하여 a^x는 그 값이 하나만 있어요. x에 대하여 한 개의 값만 대응하니까 함수라고 할 수 있죠.

이 y = a^x를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요.

만약에 a = 1이면 y = 1이라는 상수함수가 되죠? 그래서 지수함수에서는 a ≠ 1이에요.

실수인 거듭제곱근에서 a < 0이고 n이 짝수일 때 y = 를 만족하는 실수는 없다고 했어요. 그러니까 a < 0도 안 돼요.

그래서 지수함수에서는 a > 0이라는 조건이 붙어요.

지수함수
실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)를 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

지수함수의 그래프

y = a^x에서 x = 0이면 y = 1이죠? x = 1이면 y = a예요. 즉, y = a^x의 그래프는 a와 관계없이 무조건 (0, 1), (1, a)라는 두 점을 지나요.

a > 1일 때를 보죠.

a = 2라고 해볼까요?

…
2^-3 =
2^-2 =
2^-1 =
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
…

지수가 커지면 커질수록 그 결과도 커져요. 반대로 지수가 작아지면 작아질수록 결과도 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 위로 향하는 그래프죠. 지수 x가 작아지면 y도 작아지는데, 0에 한없이 가까워지기만 할 뿐 0보다는 커요. 그래프가 점점 가까워지는 직선을 점근선이라 하죠? x축이 점근선이에요.

0 < a < 1일 때를 볼까요?

a = 이라고 해보죠.

지수가 작아지면 작아질수록 그 결과는 커져요. 반대로 지수가 커지면 커질수록 결과는 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 아래로 향하는 그래프죠. 여기서도 x축이 점근선이에요.

y = 2^x와 y = 의 값을 잘 보세요.

밑이 역수일 때 지수인 x의 부호가 반대면 y값이 같아요. 즉 밑이 역수인 두 지수함수는 y축에 대하여 대칭인 걸 알 수 있어요.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

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지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

 = 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을  로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (a^m)ⁿ = a^mn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (a^p)^q = a^pq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 a^m이 되었어요. 반대로 말하면 은 a^m의 n 제곱근이라는 얘기죠.

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

첫 줄과 마지막 줄만 보면 a^ra^s = a^{r + s}예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

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중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1                  (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n =          (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

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거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.

내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.

중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.

거듭제곱근의 성질

n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까 를 n번 곱한 는 a가 되겠죠?

 = a

 = 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼 처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?

aⁿ에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±고, 2에 근호를 씌운 건 그냥 예요.

실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.

• 양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
• 음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
• 양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
• 음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)

여기서는 a가 aⁿ으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 aⁿ의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.

• a > 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = -a
• a > 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
• a < 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 음수 → 음수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 → < 0이므로  = a

되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.

• 에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요.  = -(-3) = 3
• 에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요.  = 3
• 에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요.  = -3

n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면  = a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면  = a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 은 무조건 양수 a라는 거예요.

• 
• a > 0이면  =  a

거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.

이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.

a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.

지수법칙과 위에서 했던  = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까  > 0, > 0으로  > 0이에요.

이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서 는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.

는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은 이니까 결국 둘은 같은 거죠.

 =

이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.

= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 8

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거듭제곱근에 대해서 알아봤는데요. 이제는 거듭제곱근에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

거듭제곱근을 구할 때는 방정식을 이용해서 구했는데 그렇게 구한 거듭제곱근에는 실수도 있고 복소수도 있었죠? 앞으로는 거듭제곱근 중에서 실수인 것만 사용하는데, 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있는지 그래프를 통해서 알아볼 거예요.

그리고 실수인 거듭제곱근이 의미하는 것에 대해서도 알아볼 건데 이게 좀 어려우니까 집중해서 잘 보세요.

실수인 거듭제곱근

방정식에서 x의 차수만큼 해가 존재해요. 거듭제곱근도 식으로 표현하면 일종의 방정식이죠?

xⁿ = a ⇔ a의 n제곱근

위 식을 만족하는 x는 n개 존재해요.

방정식의 해는 삼차방정식 x³ = 1의 허근 ω 오메가의 성질에서 봤던 것처럼 실근과 허근이 섞여 있어요. 마찬가지로 a의 n 제곱근은 n개 있는데 그중에는 실수와 허수가 섞여 있는 거죠. 하지만 여기서는 실수인 것만 다뤄요.

xⁿ = a를 만족하는 실수 x를 구하기 위해서 두 개의 그래프로 나눠서 생각해보죠. y = xⁿ과 y = a의 그래프의 교점의 x좌표가 실수 x가 되겠죠?

n이 짝수일 때

먼저 n이 짝수일 때예요. 그냥 간단하게 이차함수의 그래프를 생각하세요. y축에 대하여 대칭이에요.

a > 0일 때는 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 두 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 두 개라는 걸 알 수 있어요. 양수인 것은 , 음수인 것은 예요.

n = 2일 때도 양수와 음수 2개의 제곱근이 있었어요.

거듭제곱근을 나타낼 때는 근호()의 모서리에 조그맣게 n을 쓰고 근호 안에는  a를 써요. 읽을 때는 그냥 n제곱근 a라고 읽고요. 에서는 2를 생략하고 그냥 만 써도 괜찮아요.

a = 0일 때는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 0은 그냥 0이죠?  = 0

a < 0일 때는 만나는 점이 없어서 n 제곱근 중에 실수인 x가 없어요.

n이 홀수일 때

a의 부호와 상관없이 y = xⁿ과 y = a의 그래프는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 이때는 라는 한 개의 실수만 있어요.

a > 0이면 교점이 y축보다 오른쪽에 있으니까 x = , a = 0이면 x =  = 0이죠. 그럼 a < 0일 때는 교점이 y축보다 왼쪽에 있으니까 x = 일까요?

그래프에서 보면 y축에서 왼쪽에 있는 교점의 x좌표 앞에 (-)가 안 붙어있죠? 왜 그럴까요?

실수의 곱에서 음수를 홀수 개 곱하면 그 결과가 음수고, 음수를 짝수 개 곱하면 그 결과가 양수예요. x³ = -1에서 어떤 똑같은 수를 세 번 곱해서 -1이 나오려면 세 수가 모두 음수인 -1이어야 해요. 음수를 세 개 곱해야 음수가 나오니까요.

xⁿ = a에서 n이 홀수일 때, a < 0이면 x < 0이어야 한다는 거죠. x가 음수여야 x를 홀수 개 곱했을 때 음수 a가 나와요.

x = 인데, 그 자체가 이미 음수라는 의미를 포함하고 있어요. 그러니까 따로 n 제곱근호 앞에 (-) 부호를 붙이지 않아도 음수라는 거죠.

마치 ax² + bx + c = 0 (a < 0)에서 a 앞에 (-) 부호가 없지만 a 자체가 음수인 거랑 비슷한 거예요.

조금 이해하기 어려울 수 있는데, 천천히 다시 읽어보세요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근

	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

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거듭제곱근에 대해서 공부할 거예요. 거듭제곱근은 이름에서 알 수 있듯이 거듭제곱과 관련된 내용이에요. 거듭제곱이 나오면 당연히 지수법칙이 따라오고요. 또, 이름 뒷부분에 제곱근이라는 게 있으니까 제곱근과도 관련된 내용도 나와요. 따라서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미 등 중학교에서 공부했던 내용에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

반대로 말해서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미를 잘 이해하고 있다면 쉽게 공부할 수 있는 내용이에요.

거듭제곱근

거듭제곱과 지수법칙

거듭제곱과 지수법칙에 대해서 간단히 정리해보죠.

거듭제곱은 어떤 수를 반복해서 곱하는 것을 말해요.

2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑, 오른쪽 위에 잇는 (곱한 횟수)를 지수라고 하죠.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

이런 지수에는 특별한 법칙이 성립하고 이를 지수법칙이라고 해요.

m, n이 자연수일 때
a^m × aⁿ = a^{m + n}
(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱근

제곱근은 뭔가요? 제곱해서 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 하죠?

x² = a ⇔ x =

그럼 세제곱해서 a가 되는 수도 있겠죠? 그런 수를 바로 a의 세제곱근이라고 해요.

y³ = a

2² = (-2)² = 4이므로 4의 제곱근은 ±2죠.
2³ = 8이므로 8의 실수인 세제곱근은 2에요.
2⁴ = (-2)⁴ = 16이므로 16의 실수인 네제곱근은 ±2죠.

이처럼 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이 있는데, 이를 통틀어서 거듭제곱근이라고 해요.

삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질에서 ω는 x³ = 1의 한 허근이었죠? 여기서 x는 세제곱해서 1이 되는 수니까 x는 1의 세제곱근이에요.

xⁿ = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)

다음을 구하여라.
(1) -1의 세제곱근     (2) 81의 네제곱근

(1) x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
-1의 세제곱근은 -1,

(2) x⁴ = 81
x⁴ - 81 = 0
(x² + 9)(x² - 9) = 0
(x + 3i)(x - 3i)(x + 3)(x - 3) = 0

81의 네제곱근은 ±3, ±3i

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그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.

그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.

정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.

한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.

이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.

4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.

이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.

행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.

반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?

예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.

변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.

변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.

꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합

A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.

행렬의 성분과 경우의 수

행렬을 P라고 해볼게요.

P =

p₁₂ = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.

P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P²은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.

p₁₁ = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.

p₂₁ = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.

Pⁿ의 p_ij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.

그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.

다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.

표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.

(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.

A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.

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그래프인데요. 이제까지 우리가 봤던 함수의 그래프와는 조금 다른 형태의 그래프예요. 오히려 일반적인 도형과 더 비슷해요. 모양뿐 아니라 용어도 같고 부르는 이름도 같고요. 그래프와 도형은 비슷하니까 둘을 잘 비교해서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

내용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있지만 일단 이해하고 나면 서로 헷갈릴 수 있으니까 그 차이점을 분명히 알아야 해요. 분명히 도형과 그래프는 다른 영역의 내용이니까 그래프의 내용을 도형에 적용하거나 도형의 성질을 그래프에 적용하면 안 돼요.

그래프와 행렬 1 - 그래프

함수에서의 그래프는 함수식을 만족하는 점들의 순서쌍은 좌표평면 위에 나타낸 것을 말하죠? 여기에서 그래프는 그냥 점과 선으로 이루어진 그림을 말해요. 아래 그림처럼 생긴 게 그래프예요.

점 A, B, C, …가 있는데 그래프에서 점을 꼭짓점이라고 하고 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 해요.

도형에서 점을 A, B, … 부르듯이 그래프에서도 꼭짓점을 A, B, … 라고 불러요. 도형에서 변을 부를 때 양쪽 점의 이름을 이용해서 AB, BC, … 부르듯이 그래프에서도 변을 부를 때는 AB, BC, …라고 부르고요. 또 도형에서 AB와 BA는 같죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

다각형에서의 변은 직선이었죠? 그런데 그래프에서의 변은 곡선도 괜찮고 이상하게 생긴 찌그러진 선도 상관없어요. 그냥 꼭짓점을 연결한 선이면 모두 변이에요. 꼭짓점 E와 H를 연결한 선은 곡선이죠? 이 곡선도 변이에요.

다만 변에서 주의해야 할 건 두 꼭짓점을 연결하는 변이 하나만 있어야 해요. 아래 그림의 IJ처럼 서로 다른 선으로 연결되면 안 돼요.

서로 같은 그래프

꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 그래프는 같다고 해요.

두 번째 그림은 첫 번째 그림의 AD를 구부려서 그린 거예요.

세 번째 그림은 첫 번째 그림의 A의 위치를 바꿔서 그린 거고요.

네 번째는 첫 번째 그림에서 A의 위치를 바꾸고 BC를 구부려서 그린 거예요.

따라서 네 개의 그림이 모두 서로 같은 그래프죠.

네 그림 모두 꼭짓점이 A, B, C, D이고 변은 AB, BC, CD, DA예요. 이처럼 꼭짓점과 변이 같은지 비교해보면 서로 같은 그래프인지 알 수 있어요.

경로

경로는 지나가는 길을 말하죠. "집에서 출발해서 서점 들렀다가 버스를 타고 학교에 간다." 이때의 경로는 학교 → 서점 → 버스 정류장(승차) → 버스 정류장(하차) → 학교가 되겠죠?

수학에서 경로도 같아요. 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 해요. 차이가 있다면 한 번 지난 변을 다시 지나지 않는 거예요. AB를 지났으면 BA를 지나지 않고 가야 해요. AB = BA니까요.

그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로
(2) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로(단, 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나지 않는다.)

(1) 경로는 한 번 지난 변을 지나지 않고 꼭짓점을 이동할 때 이 꼭짓점들을 순서대로 나열한 것을 말해요. 한 번 지난 변을 또 지나지 않으면 되고, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나도 상관없어요. 꼭짓점 별로 세 가지 방향이 있네요.

모양이 좀 이상하긴 한데요. 경우의 수 구할 때처럼 <을 이용해서 구하면 쉽게 구할 수 있어요.

ABC, ABDAC, ABDC, AC, ADBAC, ADBC, ADC로 총 7가지 경로가 있네요.

(2) 똑같이 경로를 구하는 문제인데, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는다고 했어요. (1)에서 구했던 경로 중에 같은 꼭짓점을 두 번 지나지 않는 걸 찾아보죠.

7개의 경로 중에서 ABDAC와 ADBAC는 꼭젓점 A가 반복되니까 제외해야 겠죠? 결국 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나는 않는 경로는 ABC, ABDC, AC, ADBC, ADC로 총 5가지 네요.

차수

다항식에서의 차수는 문자가 곱해진 횟수를 말하죠. 여기서의 차수는 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 말해요.

이 그림의 A에서는 AB, AC, AD의 세 변이 있으니까 3차예요. 다른 꼭짓점들도 모두 3차네요.

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연립방정식을 행렬로 나타내고 역행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구해봤어요. 이제는 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 때 해가 한 개일 수도 있고 하나도 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있어요. 어떤 조건이 있을 때 해의 개수가 달라지는지 알아보죠.

연립방정식의 식을 하나씩 따로 떼 보면 직선의 방정식이기도 하니까 직선의 방정식과 두 직선의 방정식의 위치관계를 통해서 이를 설명해 볼게요. 혹시 기억이 나지 않는다면 아래 두 글을 먼저 읽어보세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직, 두 직선의 위치관계 - 일반형

연립일차방정식이 해를 가질 조건

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

일단 행렬식 D = ad - bc ≠ 0이면 해를 가져요. 역행렬을 이용해서 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

ad - bc = 0일 때는 해가 무수히 많거나 하나도 없다고 했어요. 해가 무수히 많을 때는 해가 있는 거죠. 그러면 무수히 많은 해를 가지려면 ad - bc = 0외에 어떤 추가 조건이 있어야 할까요?

두 직선의 위치관계 - 일반형에서 두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선의 교점은 두 직선이 나타내는 직선의 방정식의 공통근이니까 두 직선이 일치하면 두 직선의 방정식은 무수히 많은 해를 가지죠.

연립방정식 는 ax + by = p, cx + dy = q라는 두 직선의 방정식으로 나타낼 수 있으니까 여기에 위 내용을 그대로 적용해보죠.

에서 이면 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

이번에는 p = q = 0인 을 보죠. 직선의 방정식으로 나타내면 ax + by = 0, cx + dy = 0이에요. 이 두 직선은 원점을 지나는 직선이에요. 따라서 x = y = 0이라는 공통근을 일단 무조건 한 개를 가져요.

행렬로 나타내면 이에요.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 을 해로 가져요. x = y = 0인 한 쌍의 해죠.

ad - bc = 0이고 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 무수히 많을 해를 가지고 x, y 계수비와 상수항의 비가 다르면 해가 하나도 없어요. 그런데 상수항의 비를 구하려고 했더니 분모가 0이 돼버리죠? 이 방법으로는 해가 무수히 많은지 하나도 없는지 알 수가 없다는 뜻이에요. 다른 방법을 찾아봐야겠네요.

ad - bc = 0
ad = bc

두 직선의 방정식의 기울기가 같아요. 그리고 두 직선은 모두 원점을 지나요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 기울기가 같고 y절편이 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선이 일치하니까 두 직선의 방정식의 공통근도 무수히 많아지겠죠?

일반적으로 ad - bc = 0일 때 해가 하나도 없을 수도 있어요. 하지만 위에서 본 것처럼 이 두 직선은 원점을 지나므로 무조건 x = y = 0이라는 해를 가져요. 따라서 해가 하나도 없는 경우는 생길 수가 없는 거예요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

가 x = y = 0 이외의 해를 가질 때 상수 k의 값을 구하여라.

우변이 모두 0이에요. 이런 연립방정식은 x = y = 0이라는 한 쌍의 해는 무조건 갖지요. 그리고 ad - bc = 0이면 x = y = 0 이외의 해를 가지는데 이 해는 무수히 많아요.

k(k - 2) - 3 = 0
k² - 2k - 3 =
(k - 3)(k + 1)
k = -1 or 3

k = -1 or 3이면 이 연립방정식은 x = y = 0이외의 해를 가져요.

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정리해볼까요

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해

ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

지금까지 가감법, 대입법, 두 직선의 위치관계 등 여러 가지 방법을 이용해서 연립일차방정식의 해를 구해 봤어요. 이 글에서는 연립일차방정식의 해를 구하는 새로운 방법으로 역행렬을 이용하는 방법을 알아볼 거예요.

역행렬을 이용해서 연립일차방정식의 해가 몇 개인지 알아보고 해를 구할 수 있다면 해를 구하는 것까지 해볼 거예요. 해를 구할 수 없다면 왜 그런지 어떤 특징 때문에 해를 구할 수 없는지도 알아볼 거예요 .

역행렬, 연립방정식, 직선의 위치관계 등 여러 내용이 섞여서 나오니까 주의해서 잘 보세요.

역행렬과 연립일차방정식

연립방정식 을 행렬로 나타낼 수 있어요.

좌변의 행렬을 곱셈해보면 연립방정식이 나오는 걸 확인할 수 있죠.

행렬이니까 역행렬을 이용해서 x, y를 구할 수 있겠죠? 물론 역행렬이 존재한다면 말이죠.

ⅰ) ad - bc ≠ 0일 때(역행렬이 존재할 때)

위 행렬을 계산해보면, x, y의 값을 구할 수 있겠죠? 따라서 연립방정식 는 ad - bc ≠ 0일 때 한 쌍의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

ⅱ) ad - bc = 0일 때(역행렬이 존재하지 않을 때)

역행렬이 없으면 위와 같은 방법으로 해를 구할 수 없어요.

ad - bc = 0
ad = bc

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?

(x의 계수비) = (y의 계수비) = (상수항의 비) → 해가 무수히 많다
(x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비) → 해가 하나도 없다.

에서는  (x의 계수비) = (y의 계수비)이니까 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우예요. p와 q의 비를 적용해보면 정확히 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해보죠. 연립방정식  에서  ax + by = p와 cx + dy = q는 직선의 방정식이에요. 두 직선의 방정식의 교점은 연립방정식의 해잖아요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 교점의 개수를 이용해서 연립일차방정식의 해를 구했어요.

기울기가 같고, y절편이 같다 → 두 직선은 일치 → 연립일차방정식의 해는 무수히 많다.
기울기가 같고, y절편이 다르다 → 두 직선은 평행 → 연립일차방정식의 해는 없다.

는 기울기가 같다는 뜻이고, y절편인 p, q의 값을 비교해보면 더 정확히 알 수 있겠죠.

정리해보면 연립일차방정식을 행렬로 나타냈을 때, 역행렬이 존재하면 한 쌍의 해를 갖고, 역행렬이 존재하지 않으면 해가 무수히 많거나 하나도 없을 수 있다는 거예요.

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

역행렬을 이용하여 연립방정식 의 해를 구하여라.

연립방정식을 행렬로 나타내보죠.

D = ad - bc = 5 × 3 - (-1) × 4 = 15 + 4 = 19 ≠ 0이므로 역행렬을 가져요. 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

x = 2, y = 2네요.

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역행렬은 행렬에서 곱셈에 대한 역원의 역할을 해요. 이 글에서는 역행렬의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

공식이 몇 가지 나오는데 개수가 많고 식으로 쓰다 보니 길어져서 그렇지 유도과정 자체는 어렵지 않아요. 행렬과 역행렬의 관계를 이용해서 공식을 유도해요.

그리고 역행렬의 성질 공식이 우리가 알고 있던 지수법칙이나 다른 공식과 모양은 비슷하지만 적용하는 방법이 다르니까 헷갈리지 않게 잘 외워두세요.

역행렬의 성질

행렬 A의 역행렬을 A^-1이라고 해보죠.

행렬과 역행렬을 곱하면 단위행렬 E가 돼요. AA^-1 = A^-1A = E

여기서 A^-1의 역행렬은 뭔가요? A^-1와 A를 곱하면 단위행렬 E가 되니까 A^-1의 역행렬은 A에요. (A^-1)^-1 = A

두 정사각행렬 A, B에 대하여 A^-1, B^-1가 존재할 때 행렬 AB의 역행렬 X를 구해보죠.

(AB)X = E
A^-1(AB)X = A^-1E       (∵ 양변의 왼쪽에 A^-1를 곱)
(A^-1A)BX = A^-1         (∵ 결합법칙)
EBX = A^-1                (∵ AA^-1 = E)
BX = A^-1                  (∵ EB = B)
B^-1BX = B^-1A^-1        (∵ 양변의 왼쪽에 B^-1를 곱)
EX = B^-1A^-1             (∵ B^-1B = E)
X = B^-1A^-1               (∵ EX = X)

역행렬에는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지만, 일반적인 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 교환법칙이 성립하지 않아요. 그래서 행렬을 곱할 때 원래 있는 식의 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지가 중요해요. 위 유도에서는 원래 식의 왼쪽에 곱했어요.

(AB)(B^-1A^-1) = (B^-1A^-1)(AB) = E
(AB)^-1 = B^-1A^-1

AB의 역행렬을 구했더니 A^-1B^-1가 아니라 B^-1A^-1이에요. 우변을 보면 괄호를 풀 때 행렬의 순서가 바뀌었어요. 헷갈리면 안 돼요. A, B, C 세 개일 때도 똑같아요. (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1

A = A^-1일 때를 보죠.

A = A^-1
AA = A^-1A    (∵ 양변의 오른쪽에 A를 곱)
A² = E          (∵ A^-1A = E)

k가 0이 아닌 실수일 때, (kA)^-1를 구해볼까요? 만약에 k가 행렬이었다면 (kA)^-1 = A^-1k^-1이었을 거예요. 하지만 k는 실수니까 그냥 원래 우리가 알고 있던 대로 풀면 돼요.

(kA^-1) = k^-1A^-1 = A^-1

행렬의 거듭제곱의 역행렬은 어떻게 구할까요?

우리가 알고 있는 지수법칙을 적용하면 (A²)^-1 = A^-2가 될 것 같죠? 그런데 그게 아니에요. 역행렬을 나타내는 ^-1은 일반적인 다른 지수와 하나로 합쳐지지 않아요.

(A²)^-1 = (AA)^-1 = A^-1A^-1 = (A^-1)²
(A³)^-1 = (AAA)^-1 = A^-1A^-1A^-1 = (A^-1)³
(Aⁿ)^-1 = (AAA…AAA)^-1 = A^-1A^-1…A^-1 = (A^-1)ⁿ

역행렬의 성질
AA^-1 = A^-1A = E
(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1, (ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1
A = A^-1 이면 A² = E
(kA)^-1 = k^-1A^-1 = A^-1 (k ≠ 0인 실수)
(Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ

일 때, 다음을 구하여라.
(1) (A^-1B)^-1(B^-1A)^-1
(2) AX = B를 만족하는 X

(1) (A^-1B)^-1(B^-1A)^-1
= B^-1(A^-1)^-1A^-1(B^-1)^-1        (∵ (AB)^-1 = B^-1A^-1)
= B^-1AA^-1B                         (∵ (A^-1)^-1 = A)
= B^-1EB                              (∵ AA^-1 = E)
= B^-1B                                (∵ B^-1E = B^-1)
= E

(2) AX = B
A^-1AX = A^-1B                 (∵ 양변의 왼쪽에 A^-1를 곱)

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행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.

또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.

역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.

역행렬

숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a^-1이에요.

수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A^-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.

역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.

참고로 숫자에서 a^-1 = 인데, 행렬에서 A^-1는 이라고 하지 않아요.

일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA^-1= A^-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?

행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A^-1가 3 × 2 행렬이라면 AA^-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A^-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA^-1와 A^-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A^-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.

역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

역행렬 구하는 공식

라고 놓고 역행렬을 구해보죠.

ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④

① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0

(bc - ad)u = c … ⑤

① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0

(ad - bc)x = d … ⑥

② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a

(bc - ad)v = -a … ⑦

② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b

(ad - bc)y = -b … ⑧

ⅰ) ad - bc = 0일 때

ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.

그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.

ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때

⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.

⑤ →

⑥ →

⑦ →

⑧ →

x, y, u, v를 A^-1에 대입하면 를 구할 수 있어요.

A^-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.

역행렬 공식
이차정사각형렬 에 대하여
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.

ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.

다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.

역행렬이 존재하는지 아닌지는 행렬식 D를 보면 알 수 있어요.

(1) D = ad - bc = 1 × 4 - 2 × 3 = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재하네요.

(2) D = ad - bc = 2 × 6 - 3 × 4 = 0으로 역행렬이 존재하지 않아요.

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정리해볼까요

역행렬

• 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

이차정사각형렬 에 대하여

ad - bc ≠ 0 →

ad - bc = 0 → 행렬 A의 역행렬은 없다.