중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.
지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.
단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.
지수의 확장 - 유리수 지수
지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (am)n = amn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.
이번에 유리수 p, q에 대해서도 (ap)q = apq가 성립하는지 알아볼까요?
정수 m, n에 대하여 p = 
모양을 보세요. a의 지수 
실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.
n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.
정리해보죠.
유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때
유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.
정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 
첫 줄과 마지막 줄만 보면 aras = ar + s예요.
지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.
이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.
지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
aras = ar + s
ar ÷ as = ar - s
(ar)s = ars
(ab)r = arbr
다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.
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수학방님 도움 많이 받고 있습니다. 고맙습니다. 제일 아래쪽 '다음을 간단히 하여라' 의 풀이가 아래에 1,2번이 맞나요? 별개의 문제가 아닌가요? 그리고 2번문제 풀이가 마지막 부분에 잘못된 듯한데 2의 2분의9승 곱하기 3의 4분의 5승이 아닌가요?
수정했어요. ㅎㅎ
a^m/n 은 a^n 의 n 제곱근이 아니라 a^n의 양의 n제곱근아닌가요??
a^n의 n제곱근하면 허수까지다포함하는거잖아요
그래서 바로 아래에 a의 범위를 제한하는 내용이 있어요.
지수가 유리수나 실수일때밑을 a<0 으로 제한하는 이유가 n 이 짝수일경우 실수로 정의가 안되기때문에 그런거잖아요
그럼 유리수지수일때 분모가 홀수이고 a<0 일때 예를들어
(-2)^4/3 랑 세제곱근 안에(-2)^4는 같은건가요? 세제곱근 안에 (-2)^4 는 16의 세제곱근이니까 존재하는건데 왼쪽거는 뭔가요?? 실수가아니고 허수인가요?
고교과정에서 (-2)^4/3 이라고는 아예 쓰지를않는거에요?
a > 0입니다. 물어보신 예제는 잘못된 거예요.
그거 이론적으로 가능합니다 근데 우리는 약속을 했습니다 통일시킨거죠 양수일때만 사용하자고 그러다보니 지수가 유리수일때에는 밑이 음수면 안된다는 규칙을 만들어 낸겁니다 실제로는 밑이 음수여도 분모자 홀수라면 n제곱근a로 표현이 가능한데 말이죠~ 교과과정이나 문제에서 지수가 유리수일때 밑이 음수인건 보실 수 없을겁니다 ~~ 지수함수 생각해보면 답은 명확합니다 그래프는 수직선상에 나타내는 거잖아요~ 만일 지수가 유리수일때 밑이 음수를 다루기 시작한다면 문제가 발생합니다 치역에 해당하는 함숫값이 허수가 나타나니 지수함수를 그래프에 담기가 어렵겠네요 지수가 실수까지 확장되서 정의역이 이루어지고 밑이 음수라고 생각하고 그래프를 상상해보세요 분모자 짝수인 유리수 지수와 밑이 음수가 만났을 때 함숫값은 허수가 나옵니다 그러니 고교과정에서 기하학을 중시하는 대한민국 수리에서 참 난감하잖아요~ ㅋㅋㅋ 아이고 쉽다
그러면 지수의 분모가 홀수일때는 a<0 이여도 지수법칙이 성립하는건가요??? 왜그런지도좀 알려주세요 ㅜㅜ 머리터질거같아요 만약성립한다면 분모가 짝수 일때(n이 짝수일때) 는 지수법칙이 성립이되지않고 실수로정의가되지않으니까
아예 모두실수가나오게 a>0으로 밑의범위를 한정시키는건가요?? 이거때문에머리 너무아프네요 ㅜㅜㅜ
실수만 나오게 a > 0으로 제한하는 거죠.
엄청중요한거 하나 물어볼겁니다^^
지수가 유리수일때... <n제곱근a ↔ a^1/n> 보통 요렇게 변환이 가능하다고 어느교재나 설명이 나와있잖아요~ 단, a>0 단서 달리고요~~~ 제가 이분분 알아내려고 7일동안 여기저기 독학으로 파고 파고 겨우 이해시켰습니다^^ 확인차 물어보려구욤~ 단서에서 a>0이라는 부분은 좀더 파고들면 아니 솔직히 말하면 a<0 작을 때에도 가능할 수도 있습니다~ n이 홀수라면 a가 음수라도 n제곱근a라는 표현을 사용할 수 있으니깐요~ 즉 변환이 된다는 의미죠~ 근데 교육방송 엄청난 선생님이 핵심을 집어줬어용~ 이게 n이 짝수냐 홀수냐에 따라서 a가 음수여도 되는 경우가 나뉘기 때문에 일관성을 부여하기 위해 공부방법론으는 a>0으로 통일시켜서 교재에서 설명하는거고 또 그렇게 배우면 된다고 들었습니다~~~~ 저 잘 이해한거 맞죠? 아참 그리고 허수 루트-1을 정확히 표현하면 2제곱근-1 인데 n제곱근-1이란 실근표시방법으로 사용할 수 있는 예외적인 경우라고 했습니다~ 즉 그렇게 사용하자고 약속한거기 때문에 가능한 표현이라고 ㅋㅋㅋ 저 똑바로 이해한거 맞나욤??? 아 머리 박살나는 줄 알았네요~ 누가 이렇게 알려주지 않으니 빙빙돌다 드디어 개념 정립 ㅋ
제질문 위에 분도 나와 같은 고민으로 헤매고 있는게 보이네요~~~~ 눈에 보인다 보여~~~~~ 내글보면 이해갈텐데 ㅋ
그죠? 실수로 제한한다는 것만 알면 되는데, 그게 참 깨닫기 어려운(?) 거예요.
10의 마이너스 1승은 뭘 의미하는 건가요?
지수법칙 - 정수(http://mathbang.net/586)를 참고하세요.
-2의 1/2제곱은 루트-2와 같다는 표현은 잘못된건 가요??
아니요. 맞는 거예요. 다만 그 값이 실수가 아니라는 것뿐이에요.
쉽게 가르쳐주시는게 보여요 고맙습니다~~~
중학교에서 공부했던 지수법칙이 자연수로 되어있던 걸 확장하는 내용이라 단순히 증명하는 과정만 있어요. 수가 확장되는 과정만 잘 이해하면 어렵지 않은 내용이에요.
교재에 (-8)^(1/3)의 값이 정의가 안된다는데
-2 = (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = 2 따라서 밑이 음수일 경우는 홀수건 실수건 정의 자체를 할 수 없다고 합니다. (m사쌤) 위에 질문하신 분 처럼 저도 확인차 질문을 하여보면 (-8)^(1/3) = -2는 틀린표현 아닌가요..?
유리수 지수에서 지수법칙을 증명할 때 (a^(m/n))^n = a^((m/n)x n)이 성립한다고 했는데, m/n이 유리수여도 저 식이 성립함을 어떻게 알 수 있을까요?
저 식을 증명하기 전에는 정수 지수에 대해 지수법칙이 성립한다는 것밖에 모르니까요..