중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

am × an = am + n

(am)n = amn = (an)m

(ab)m = ambm

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 am × an = am + n에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a0 × an = a0 + n = an

양변을 an로 나눠볼까요?

a0 × an = an
a0 = 1                  (∵ 양변 ÷ an)

a ≠ 0일 때, a0 = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

am × an = a-n × an = a-n + n = a0 = 1

이번에도 양변을 an로 나눠요.

a-n × an = 1
a-n =          (∵ 양변 ÷ an)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a0 = 1, a-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a-n =

(-1)0 = 1, 20 = 1,

지금까지는 am ÷ an에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

am ÷ an = am - n로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
aman = am + n
am ÷ an = am - n
(am)n = amn
(ab)m = ambm

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 02, 03등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 00, 0-1, 0-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a2)3 × a4 ÷ a-5
(2) (a2b-3)4

(1) (a2)3 × a4 ÷ a-5
= a6 × a4 ÷ a-5
= a6 + 4 - (-5)
= a15

(2) (a2b-3)4
= (a2)4(b-3)4
= a8b-12
=

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정리해볼까요

지수의 확장 - 지수가 정수일 때

  • a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
  • aman = am + n
  • am ÷ an = am - n
  • (am)n = amn
  • (ab)m = ambm
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