중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (am)n = amn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (ap)q = apq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 am이 되었어요. 반대로 말하면 은 am의 n 제곱근이라는 얘기죠.

유리수인 지수

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때
유리수인 지수

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

유리수가 지수일 때 지수법칙 1 증명

첫 줄과 마지막 줄만 보면 aras = ar + s예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
aras = ar + s
ar ÷ as = ar - s
(ar)s = ars
(ab)r = arbr

다음을 간단히 하여라.
(1) 유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 1 문제
(2) 유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 2 문제

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 1 풀이

유리수가 지수일 때 지수법칙 예제 2 풀이

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정리해볼까요

지수가 유리수일 때 지수법칙

    지수가 유리수일 때 지수법칙
  • a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
  • aras = ar + s
  • ar ÷ as = ar - s
  • (ar)s = ars
  • (ab)r = arbr
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