거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.

내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.

중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.

거듭제곱근의 성질

n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까 를 n번 곱한 는 a가 되겠죠?

 = a

 = 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼 처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?

an에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±고, 2에 근호를 씌운 건 그냥 예요.

실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.

xn = a일 때 실수인 거듭제곱근
a > 0 a = 0 a < 0
n이 짝수 0 없다.
n이 홀수

저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.

  • 양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
  • 음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
  • 양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
  • 음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)

여기서는 a가 an으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 an의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.

  • a > 0이고 n이 짝수면 an은 양수 → 양수 an에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
  • a < 0이고 n이 짝수면 an은 양수 → 양수 an에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = -a
  • a > 0이고 n이 홀수면 an은 양수 → 양수 an에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로  = a
  • a < 0이고 n이 홀수면 an은 음수 → 음수 an에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 → < 0이므로  = a

되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.

  • 에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요.  = 3
  • 에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요.  = -(-3) = 3
  • 에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요.  = 3
  • 에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요.  = -3

n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면  = a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면  = a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 은 무조건 양수 a라는 거예요.

  • a > 0이면  =  a

거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.

이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.

a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.

지수법칙과 위에서 했던  = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까  > 0, > 0으로  > 0이에요.

이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서 는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.

는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은 이니까 결국 둘은 같은 거죠.

 =

이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.


= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 2

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정리해볼까요

거듭제곱근의 성질

  •  = a
  • a > 0이면  =  a

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

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