대칭이동 두 번째에요. 점과 도형의 대칭이동에서는 어떤 기준(x축, y축, 원점)을 사용했느냐가 중요하죠. 그리고 그 기준에 따라 대칭이동했을 때 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지도 알아야 하고요.

이 글에서는 직선 y = x와 y = ax + b에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 바뀌는지 그리고 대칭이동한 결과를 어떻게 구하는지 알아볼 거예요. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 앞서 했던 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동과 함께 외워두면 좋고, 직선 y = ax + b에 대하여 대칭이동은 결과를 구하는 과정을 알아두세요.

대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동

y = x에 대하여 대칭이동

좌표평면 위의 한 점을 직선 y = x에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 되는지 알아보죠.

대칭이동 - y = x에 대하여 대칭이동

점 P(x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 점 P'(x', y')라고 해볼까요?

대칭이동하면 직선 y = x에서 점 P까지의 거리와 직선 y = x에서 점 P'까지의 거리가 같아요. 그러니까 점 P와 점 P'에서 같은 거리에 있는 점 바로 선분 PP'의 중점 이 y = x위에 있다는 얘기지요.

또 선분 PP'와 직선 y = x는 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

y + y' = x + x' ……… ①
y - y' = -(x - x') ……… ②

이 두 식을 연립해서 풀어보죠.

① + ② : 2y = 2x' → x' = y
① - ② : 2y' = 2x → y' = x

점을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y의 좌표가 서로 바뀌는 걸 알 수 있어요. P'(x', y') = P'(y, x)가 돼요.

점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 점의 대칭이동과 도형의 대칭이동은 같다고 했어요. 그러니까 도형의 대칭이동에서도 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x) = 0이 돼요.

y = x에 대하여 대칭이동
x대신 y대입, y대신 x 대입
점 (x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x)
도형의 방정식 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x) = 0

다음을 구하여라.
(1) 점 (2, 3)을 y = x에 대하여 대칭이동한 점
(2) 2x + 3y + 4 = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식
(3) (x - 1)2 + y2 = 10을 y = x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식

점과 도형을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x → y, y → x로 바꿔주면 돼요.

(1) 번은 (2, 3)이니까 y = x에 대하여 대칭이동하면 (3, 2)가 되겠네요.

(2) 번은 2x + 3y + 4 = 0에서 x와 y를 서로 바꿔주면 2y + 3x + 4 = 0이니까 3x + 2y + 4 = 0이 되겠고요.

(3) 번 (x - 1)2 + y2 = 10에서 x, y를 바꿔주면 (y - 1)2 + x2 = 10이니까 x2 + (y - 1)2 = 10이 되겠네요.

y = ax + b에 대하여 대칭이동

대칭이동 - y = ax + b에 대하여 대칭이동

이번에는 점 P(x, y)를 직선 y = ax + b에 대해서 대칭이동해보죠. 대칭이동한 점을 P'(x', y')라고 할게요.

방법은 위와 똑같아요.

  • (점 P에서 직선 y = ax + b까지의 거리) = (점 P'에서 직선 y = ax + b까지의 거리)
    → 선분 PP'의 중점이 y = ax + b 위의 한 점
  • (선분 PP'의 기울기) × (직선 y = ax + b의 기울기 a) = -1

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

원의 방정식을 대칭이동했는데, 원의 방정식 위의 한 점을 대칭이동하는 것도 좋지만, 원의 중심을 이용하는 것도 방법이에요. 대칭이동을 하더라도 반지름의 길이 등 원의 성질은 바뀌지 않으니까요. 원의 중심의 좌표를 대칭이동해보죠.

원의 중심의 좌표를 점 C(-1, 2), 대칭이동한 원의 중심의 좌표를 점 C'(a, b)라고 놓으면

(점 C에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리) = (점 C'에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리)
→ 선분 CC'의 중점이 y = 2x + 9위의 한 점

중점

(선분 CC'의 기울기) × (직선 y = 2x + 9의 기울기 2) = -1

두 식을 연립해서 풀면 a = -5, b = 4네요. 대칭이동한 원의 방정식의 중심은 (-5, 4)가 되는군요.

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x + 5)2 + (y - 4)2 = 10이 됩니다.

대칭이동 - y = ax + b에 대하여 대칭이동 예제 결과 그래프

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좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

정리해볼까요

직선에 대하여 대칭이동

  • y = x에 대하여 대칭이동 x → y, y → x
  • y = ax + b에 대하여 대칭이동
    • 처음 점과 대칭이동한 점의 중점이 y = ax + b 위의 점
    • 처음 점과 대칭이동한 점을 지나는 직선과 y = ax + b가 수직
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