선분의 내분점과 외분점이라는 생소한 용어에 대해서 공부할 겁니다.

쉽게 말해 내분이라는 말은 나눈다는 말인데, 안에서 나눈다는 뜻이에요. 외분은 바깥에서 나눈다는 뜻이고요. 그러니까 내분점은 안에서 나누는 점이고, 외분점은 바깥에서 나누는 점이죠.

내분점, 외분점이 무엇인지 알아보고 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식도 유도해보죠. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점은 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에도 그대로 적용되니까 잘 봐두세요.

수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 선분의 내분점

선분의 내분점

수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여 선분 AB위의 한 점 P가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 P가 를 m : n으로 내분한다고 하고 점 P를 내분점이라고 해요.

점 P의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 적용해볼까요? x1 < x < x2네요.


x - x1 : x2 - x = m : n
n(x - x1) = m(x2 - x)
nx - nx1 = mx2 - mx
(m + n)x = mx2 + nx1
x =

점 P가 를 내분하는 비율을 알면 점 P의 좌표를 구할 수 있겠죠?

만약에 m = n이면 어떨까요? 이니까 바로 이때 내분점 P는 중점이 되는 거예요.

수직선 위의 선분의 외분점

수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여 선분 AB의 연장선 위의 한 점 Q가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 Q가 를 m : n으로 외분한다고 하고 점 Q를 외분점이라고 해요.

선분의 외분점 1

점 Q의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 넣어보죠. x1 < x2 < x 네요.


x - x1 : x - x2 = m : n
n(x - x1) = m(x - x2)
nx - nx1 = mx - mx2
(m - n)x = mx2 - nx1
x =

위에서는 m > n일 때였는데, 이번에는 m < n일 때를 보죠. 점 Q가 A의 왼쪽에 있을 때에요. x < x1 < x2네요.

선분의 외분점 2


x1 - x : x2 - x = m : n
n(x1 - x) = m(x2 - x)
nx1 - nx = mx2 - mx
(m - n)x = mx2 - nx1
x =

점 Q가 A의 왼쪽에 있든지 B의 오른쪽에 있든지 상관없이 Q의 좌표는 똑같아요. 외분하는 비율 m, n을 알면 점 Q의 좌표를 구할 수 있어요.

좌표를 구하는 공식과는 별개로 외분하는 비율을 보면 외분점의 위치를 알 수 있겠죠? m > n이면 외분점은 점 B의 오른쪽에 m < n이면 외분점은 점 A의 왼쪽에 있어요. 즉 비율이 작은 쪽에 외분점이 있어요.

1 : 1로 내분하면 중점이었죠? 1 : 1로 외분하는 점은 뭘까요? 그런 점은 생길 수가 없어요. 따라서 무조건 m ≠ n이에요.

정리해보죠.

수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여
선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면

(내분점일 때는 m = n이면 중점, 외분점일 때는 m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같으니까 쉽게 외울 수 있겠죠?

내분점과 외분점의 좌표

수직선 위의 두 점 A(-2), B(4)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 좌표 =  =

외분점 Q의 좌표 =  =

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정리해볼까요

수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

  • 수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면
  • (m = n이면 중점)
  • (m ≠ n)
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