선분의 내분점과 외분점 두 번째로 이번에는 좌표평면에서의 내분점과 외분점이에요. 내분점과 외분점에 대한 설명은 앞선 글에서 했으니까 생략하고 이 글에서는 좌표 구하는 걸 해보죠.

공식 유도 과정이 수직선보다 훨씬 복잡하니까 잘 봐야 해요. 하지만 결과는 둘이 서로 거의 비슷하니까 외우기는 어렵지 않을 거예요.

중학교 때 공부했던 도형의 닮음을 이용한 증명이니까 혹시 기억이 안 난다면 도형의 닮음을 얼른 보고 오세요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표를 구해보죠.

거리의 비가 m : n이니까 좌표평면위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 직접 거리의 비를 구할 것 같지만 그게 아닌 다른 방법으로 구해보죠.

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위에 그림을 세 점 A, B, P를 그려봤어요. 세 점 A, B, P에서 좌표축으로 수선을 내렸고요.

△ACP와 △PDB를 보죠.

∠ACP = ∠PDB = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠PAC = ∠BPD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △ACP ∽ △PDB이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.


x - x1 : x2 - x = m : n
n(x - x1) = m(x2 - x)
nx - nx1 = mx2 - mx
(m + n)x = mx2 + nx1
x = 좌표평면 위의 선분의 내분점의 x좌표

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 내분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.


y - y1 : y2 - y = m : n
n(y - y1) = m(y2 - y)
ny - ny1 = my2 - my
(m + n)y = my2 + ny1
y = 좌표평면 위의 선분의 내분점의 y좌표

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는
좌표평면 위의 선분의 내분점의 좌표

수직선 위의 선분의 내분점에서 m = n이면 P는 중점이라고 했어요. 여기서도 마찬가지로 m = n이면 P는 중점이에요.

좌표평면 위의 선분의 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표를 구해보죠.

좌표평면 위의 선분의 외분점

마찬가지로 삼각형의 닮음을 이용합니다. 대신 이번에는 큰 삼각형 △AEQ와 작은 삼각형 △BDQ을 이용해요.

∠AEQ = ∠BDQ = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠QAE = ∠QBD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △AEQ ∽ △BDQ이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.


x - x1 : x - x2 = m : n
n(x - x1) = m(x - x2)
nx - nx1 = mx - mx2
(m - n)x = mx2 - nx1
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 외분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.


y - y1 : y - y2 = m : n
n(y - y1) = m(y - y2)
ny - ny1 = my - my2
(m - n)y = my2 - ny1
y = 좌표평면 위의 선분의 외분점의 y좌표

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)는
좌표평면 위의 선분의 외분점의 좌표(단, m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같아요. 그리고 y좌표는 x좌표 구하는 공식에서 x만 y로 바꾸면 되고요.

내분점과 외분점의 좌표

좌표평면 위의 두 점 A(-2, 5), B(4, -3)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 x 좌표 =  =

내분점 P의 y 좌표 =  =

외분점 Q의 x좌표 =  =

외분점 Q의 y좌표 =  =

내분점 P , 외분점 Q (16, -19)

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정리해볼까요

좌표평면 위의 두 점  A(x1, y1), B(x2, y2)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면

  • 좌표평면 위의 선분의 내분점의 좌표, m = n이면 중점
  • 좌표평면 위의 선분의 외분점의 좌표 (단, m ≠ n)
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