수직선과 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에 대해서 알아봤어요. 이제는 내분점과 외분점 사이의 관계를 알아볼 거예요. 내분점은 내분점, 외분점은 외분점으로 따로 인 것 같지만 둘은 한 끗 차이에요. 어디를 기준으로 두느냐의 차이지요.

내분점과 외분점은 바늘과 실처럼 항상 함께 하는 사이에요. 문제의 설명을 잘 읽고 이걸 그림으로 표현할 줄 안다면 문제는 쉽게 해결할 수 있어요.

그림을 새로 그리는 것도 아니고 공식을 다시 외우는 것도 아니니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

내분점과 외분점 사이의 관계

선분의 내분점

위 그림에서 점 P는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이에요. (수직선 위의 선분의 내분점과 외분점)

원래 선분 AP였는데, 선분 AP의 연장선에 점 B가 있다고 생각해볼까요? 그럼 어떻게 되나요? 점 B가 선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점이 되지요? 반대로 선분 PB의 연장선을 점 A가 m : (m + n)으로 외분한다고 할 수도 있겠죠?

세 점 사이의 관계를 내분점과 외분점을 나타내는데, 이들은 서로가 서로에게 내분점이 되기도 하고 외분점이 되기도 해요.

이 관계를 잘 이해하고 있어야 해요. 내분점의 좌표를 가르쳐줬다고 내분점 공식만 이용하는 건 아니니까요.

선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P
선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점 B
선분 PB의 연장선을 m : (m + n)으로 외분하는 점 A

선분의 외분점 1

위 그림에서는 어떻게 될까요?

선분 AB의 연장선을 m : n으로 외분하는 점 Q
선분 BQ의 연장선을 (m - n) : m으로 외분하는 점 A
선분 AQ를 (m - n) : n으로 내분하는 점 B

두 점 A(4, 2), B(5, 8)를 연결한 선분의 연장선 위에 있고, 가 되도록 하는 점 C의 좌표를 구하여라.

연장선 위에 있다고 했으니까 일단 점 C는 외분점이에요. 외분하는 비율을 찾아보죠.

조심해야 할 건 비율이 점 C에 대한 비율이 아니라 점 B를 중심으로 하는 비율이에요. 비율만 보면 점 B는 선분 AC를 3 : 2로 내분하는 점이네요.

구하는 건 점 C의 좌표인데, 알려준 비율은 점 B가 내분하는 비율이에요. 약간 혼선이 생기죠? 이럴 때 바로 내분점과 외분점의 관계를 이용하는 거예요.

점 C가 선분 AB의 연장선 중 B 쪽에 있어야 3 : 2라는 비율이 나오겠죠? 그러면 점 C는 B에 가까이 있는 외분점이니까 그 비율은 (3 + 2) : 2 = 5 : 2네요. 좌표평면에 그려보면 조금 더 쉽게 이해가 될 거예요.

내분점과 외분점의 관계 예제 그래프

좌표평면 위의 선분의 외분점 공식을 이용해야겠네요.

외분점 C의 x좌표 =  =

외분점 C의 y좌표 =  =

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정리해볼까요

내분점과 외분점의 관계

  • 선분의 내분점
  • 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P
  • 선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점 B
  • 선분 PB의 연장선을 m : (m + n)으로 외분하는 점 A
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