삼각형의 무게중심의 좌표, 무게중심 공식

삼각형의 무게중심은 중학교 때 공부했어요. 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선

이번에는 앞서 공부한 내분점과 외분점의 좌표 공식을 이용해서 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 공식이 매우 쉬워요. 외우려고 하지 않아도 자동으로 외워지죠.

삼각형의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표도 구해서 원래 삼각형의 무게중심의 좌표와 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요

삼각형의 무게중심의 좌표 구하기

삼각형의 각 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선 즉 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 하지요? 중선은 어떤 특징이 있나요? 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이에요. 다시 말해 무게중심은 중선을 2 : 1로 내분하는 거죠.

이 성질을 이용해서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알면 무게중심의 좌표를 구할 수 있어요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있다고 해보죠. 이때 선분 BC의 중점을 M(x', y'), △ABC의 무게중심을 G(x, y)라고 할게요.

중점은 선분을 1 : 1로 내분하니까 선분 BC의 중점 M의 좌표는 (, )이에요.

A(x₁, y₁), M(, )을 연결한 선분 AM을 무게중심 G가 2 : 1로 내분하는 성질을 이용해서 점 G의 좌표를 구해보죠.

x 좌표: 

y 좌표: 

좌표 공식인데, 어렵지 않죠?

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표

세 점의 x, y좌표를 다 더해서 3으로 나눴어요. 평균 구하는 것과 같은 방법이네요.

중점을 연결한 삼각형의 무게중심

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있을 때, 각 변의 중점을 점 D, 점 E, 점 F라고 하고 이들을 연결한 삼각형을 △DEF라고 해보죠.

점 D는 선분 BC의 중점이니까 (, )
점 E는 선분 CA의 중점이니까 (, )
점 F는 선분 AB의 중점이니까 (, )

△DEF의 무게중심의 x, y 좌표를 구해보죠.

△DEF의 무게중심의 좌표와 △ABC의 무게중심의 좌표가 같네요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표
= 세 변의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심 G의 좌표

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정리해볼까요

삼각형의 무게중심의 좌표

• 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)을 꼭짓점으로 하는 △ABC의의 무게중심 G의 좌표

  

• △ABC의 세 변의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심 G의 좌표

내분점과 외분점의 관계

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직선의 방정식