삼각형의 내심과 외심 기억하고 있죠? 오늘은 또 다른 삼각형의 중심을 공부할 거예요. 바로 삼각형의 무게중심이에요. 너무도 당연한 얘기지만 삼각형의 무게중심은 이름 그대로 무게의 중심입니다.

삼각형의 무게중심은 삼각형의 외심, 삼각형의 내심보다 복잡하지 않고, 내용도 더 적어요. 그래서 더 쉽게 공부할 수 있죠.

무게중심의 정의와 성질을 잘 이해하고, 외심과 내심과 구별할 줄 알아야 합니다.

삼각형의 중선

삼각형의 중선은 이름에서 유추할 수 있어요. 가운데 선이라는 뜻이죠.

삼각형의 중선

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선을 말해요. 삼각형에는 꼭짓점이 세 개니까 중선은 세 개가 있어요.

삼각형의 무게중심

삼각형에는 세 개의 중선이 있죠. 이 세 개의 중선은 한 점에서 만나게 되는데, 이 교점이 바로 삼각형의 무게중심이에요. 보통은 Gravity의 첫 글자를 따서 G라고 써요. (삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유)

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 무게중심은 그냥 이등분선의 교점이에요. 둘의 차이를 잘 구별하세요.

삼각형의 중점에는 중요한 성질이 하나 있어요. 삼각형의 한 중선에는 꼭짓점, 무게중심, 대변의 중점의 세 점이 있죠? 이 세 점 사이의 거리에 관한 성질이에요.

꼭짓점 ~ 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1
삼각형의 무게중심

왜 그런지 알아볼까요?

삼각형 무게중심의 성질 증명

의 중점 점 E와 점 F를 연결하면, 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 가 됩니다.

△GEF와 △GBC를 보세요.

∠GEF = ∠GBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠GFE = ∠GCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △GEF ∽와 △GBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠.

점 F와 점 D를 연결해서 같은 방법을 이용하면 도 구할 수 있지요.

결국, 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이 성립함을 알 수 있어요.

△ABC의 무게중심이 점 G이고, △GBC의 무게중심이 점 G'다. = 18cm일 때 를 구하여라.

꼭짓점 ~ 삼각형의 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1이므로 무게중심에서 대변의 꼭짓점까지의 거리는 중선의 1/3이죠.

꼭짓점에서 무게중심까지의 거리는 중선의 2/3이니까

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정리해볼까요

삼각형의 무게중심

  • 삼각형의 중선: 한 꼭짓점과 대변의 중점을 연결한 직선
  • 삼각형의 무게중심: 세 중선의 교점
  • 꼭짓점 ~ 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1
 
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