사다리꼴의 중점 연결 정리, 등변사다리꼴의 중점 연결 정리

삼각형의 중점 연결 정리에 이어 사다리꼴의 중점 연결 정리입니다. 평행사변형, 정사각형, 마름모의 중점 연결 정리는 따로 하지 않으니까 중점 연결 정리는 여기가 끝이에요.

사다리꼴의 중점 연결정리는 사다리꼴에 대각선을 그어서 삼각형을 만든 다음 삼각형의 중점 연결 정리를 적용하는 거예요.

그리고 등변사다리꼴의 중점 연결 정리에는 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질에서 공부했던 내용이 나오니까 기억이 나지 않는다면 미리 읽어두세요.

사다리꼴의 중점 연결 정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변의 중점을 각각 M, N이라고 하죠. 그리고 대각선과 중점을 연결한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라고 하고요.

그러면 아래 그림 같은 성질이 성립합니다.

중점을 연결한 직선

첫 번째 중점을 연결한 선이 다른 두 변과 평행한지부터 증명해보죠.

의 연장선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△AND와 △ENC가 생기죠.

두 삼각형에서
점 N은 의 중점이므로
∠AND = ∠ENC (맞꼭지각)
이므로 ∠ADN = ∠ECN (평행선에서 엇각)

따라서 두 삼각형은 ASA 합동이에요. △AND ≡ △ENC

합동인 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로 이죠.

△ABE에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리 때문에 이 성립해요.

등변사다리꼴에서는 이므로 결국 이 성립합니다.

중점을 연결한 직선의 길이

이번에는 중점을 연결한 직선의 길이를 구해볼까요?

사다리꼴의 윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라고 해보죠. 점 A에서 점 C로 대각선을 긋고, 중점을 연결한 선과 만나는 점을 Q라고 할게요.

이므로 둘을 구해서 더하면 되겠죠?

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ACD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

중점을 연결한 직선과 대각선의 두 교점 사이의 거리

중점을 연결한 직선과 대각선이 만나는 점을 각각 점 P, Q라고 할게요.

로 구할 수 있어요.

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ABD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

위 그림에서 = 5cm, = 2cm일 때, a, b를 구하여라.

이므로 a = 2= 10(cm)

이고, 이므로 b = 2(5 + 2) = 14(cm)

등변사다리꼴의 중점 연결 정리

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형에서 사다리꼴은 없었지요? 여기서 해보자고요.

등변사다리꼴에서는 두 변의 중점을 바로 연결하는 게 아니라 네 변의 중점을 모두 연결해요. 등변사다리꼴의 네 변의 중점을 각각 E, F, G, H라고 할 때 이 네 점을 연결한 □EFGH는 마름모가 됩니다.

점 A와 점 C를 연결하는 대각선을 그어보죠.

△ABC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. △ADC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. 정리해보면

점 B와 점 D를 연결하는 대각선을 그어서 같은 방법을 사용하면 를 구할 수 있어요.

등변사다리꼴의 성질에 따르면 두 대각선의 길이가 같아요. 이므로 결국 가 되어 네 변의 길이가 모두 같은 마름모가 됩니다.

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정리해볼까요

사다리꼴의 중점 연결 정리

• 평행하지 않은 두 변의 중점을 연결한 선의 길이 = ½ (윗변 + 아랫변)
• 등변사다리꼴의 중점 연결 정리: 등변사다리꼴 네 변의 중점을 연결한 도형은 마름모

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