평각, 직각, 예각, 둔각에서 각이란 무엇인지, 크기에 따라 각을 어떻게 나누는지 알아봤어요. 이번 글에서는 다른 각을 위치에 따라 구분하는 방법에 대해서 알아보죠.
이번 글에서는 맞꼭지각, 동위각, 엇각을 설명할 건데, 이게 글로 설명하기는 참 어려운 내용이에요. 그래서 정신줄 꽉 잡고 한 줄 한 줄 정독해야 이해할 수 있어요. 설명과 그림을 왔다 갔다 하면서 주의 깊게 보세요.
아마 한 번 봐서는 이해하기가 어려울 거예요.
맞꼭지각
선과 선, 면과 선이 만나는 점을 뭐하고 했지요? 교점이라고 했어요. 면과 면이 만나서 생기는 선은 교선이라고 했고요.
그럼 교각은 뭘까요? 만나서 생기는 각이겠지요. 뭐가 만나느냐면 바로 두 직선이 만나요. 그러니까 선과 선이 만나는 교점에 각이 생긴다는 얘기지요. 근데 교각은 항상 네 개가 생겨요. 그래서 이 네 개를 전부 다 교각이라고 합니다.
아래는 두 직선 l과 m이 만나서 생기는 교각을 표시한 그림이에요. a, b, c, d 모두 교각입니다.
이때 네 개의 교각 중에서 서로 마주 보고 있는 두 각을 서로의 맞꼭지각이라고 해요. 꼭짓점을 맞대고 있다는 뜻이죠. ∠a와 ∠c가 서로 마주 보고 있죠? 그래서 ∠a와 ∠c가 맞꼭지각이고, ∠b와 ∠d도 서로 맞꼭지각이에요.
맞꼭지각은 서로 크기가 같아요. ∠a = ∠c이고 ∠b = ∠d란 얘기죠
∠a + ∠b = ∠a + ∠d = 180° (평각)
∠b = ∠d
∠a + ∠b = ∠b + ∠c = 180° (평각)
∠a = ∠c
동위각, 엇각
맞꼭지각이 두 직선이 만나서 생기는 각이라면, 동위각과 엇각은 세 직선이 만나는 곳에서 생겨요. 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만나면 교각이 8개가 생겨요. l, n이 만나는 곳에서 4개, m, n이 만나는 곳에서 4개요.
동위각은 같은 위치에 있는 각이라는 뜻이에요. 교점을 중심으로 해서 같은 위치에 있다는 뜻인데요. 교점을 중심으로 해서 상하좌우의 위치가 같으면 동위각이라고 해요.
동위각을 쉽게 찾는 방법을 알려드릴게요. 동위각은 두 직선 l, m과 다른 직선 n이 만나서 생기는 거라고 했어요. 다른 직선 n을 가로축(또는 세로축)으로 놓으세요. 그런 다음 교점을 중심으로 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 위, 왼쪽 아래 등으로 위치를 비교하면 동위각을 금방 찾을 수 있어요.
아래 그림에서는 n을 세로로 생각해보죠. ∠a는 직선 l과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위에 있고, ∠b는 왼쪽 아래에 있죠? ∠c는 오른쪽 아래, ∠d는 오른쪽 위에 있어요. ∠e는 직선 m과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위, ∠f는 왼쪽 아래, ∠g는 오른쪽 아래, ∠h는 오른쪽 위에 있어요.
동위각을 찾아보죠. 왼쪽 위에 있는 동위각은 ∠a, ∠e, 왼쪽 아래 있는 동위각은 ∠b, ∠f, 오른쪽 아래 있는 동위각은 ∠c, ∠g, 오른쪽 위에 있는 동위각은 ∠d, ∠h가 되는 거예요.
동위각 찾는 건 몇 번 해봐서는 금방 이해가 되지 않으니까 연습을 많이 하세요.
엇각은 서로 엇갈린 위치에 있는 각이에요. 맞꼭지각도 아니고 동위각도 아닌 각이죠. 한 가지 중요한 게 있는데, 엇각은 8개의 각 모두에 있는 게 아니에요. 교점이 하나만 있는 두 직선 l, m 사이에 있는 4개의 각(∠b, ∠c, ∠e, ∠h) 사이에서만 찾아요. 선 밖의 각 4개는 전혀 생각하지 마세요.
엇각은 대각선 방향에 있는 각을 찾으면 되는데, ∠c의 엇각을 찾아볼까요? ∠c는 오른쪽 아래에 있으니까 대각선 방향은 왼쪽 위가 되겠네요. 왼쪽 위에 있는 각 즉, 대각선 방향에 있는 각은 ∠e죠? 그래서 ∠c와 ∠e가 서로 엇각이에요. ∠b는 왼쪽 아래에 있으니까 오른쪽 위에 있는 ∠h와 엇각이고요.
엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾으면 돼요. ∠c의 동위각은 ∠g인데, ∠g의 맞꼭지각이 ∠e에요. 이 방법으로 찾아도 똑같이 ∠e가 나와요. 편한 방법으로 연습하세요.
아래 그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) ∠a의 동위각
(2) ∠g의 엇각
(3) ∠i와 크기가 각
이 문제는 어려운 유형의 문제에요. 교점이 3개이고 교각이 12개나 되거든요. 이렇게 교점이 세 개인 문제에서는 교점을 하나 가려서 없다고 생각하고 남은 교점 두 개에서 동위각과 엇각을 찾으세요. 그다음 다른 교점을 가리고 찾고, … 이렇게 여러 번 하는 방법으로 풀어야 해요.
(1) ∠a의 동위각을 찾으라고 했는데, 먼저 l과 m이 만나는 교점을 가리고 해보죠. n을 세로축으로 놓으면 ∠a의 동위각은 ∠e라는 걸 찾을 수 있어요.
그다음에는 m, n이 만나는 교점을 가려보세요. 그림을 왼쪽으로 약간 기울여서 l을 가로축으로 놓으면 ∠a는 왼쪽 위에 있는 각이 돼요. ∠i, ∠j, ∠k, ∠o 중에서 왼쪽 위에 있는 각은 어떤 각일까요? ∠i가 왼쪽 위에 있는 각이에요.
그래서 ∠a의 동위각은 ∠e와 ∠i네요.
(2) 엇각은 두 직선 사이에 있는 경우에만 찾는다고 했어요. 그림의 왼쪽 부분(직선 l과 n의 교점, 직선 m과 n의 교점)에서는 엇각을 고려할 수 있는 게 ∠b, ∠c, ∠e, ∠h뿐이에요. 여기에서는 ∠g는 엇각을 얘기하지 않으니까 이곳에 ∠g의 엇각은 없어요.
이번에는 직선 m과 n의 교점, 직선 l과 m의 교점을 생각해보죠. 두 직선 사이에 있는 각은 ∠h, ∠g, ∠j, ∠k네요. 여기에는 ∠g가 있어서 엇각을 고려해볼 수 있어요. 엇각은 대각선 방향에 있는 각이니까 오른쪽 아래에 있는 ∠g의 엇각은 왼쪽 위에 있는 ∠j가 되는군요.
(3) 직선이 만나는 곳에 교각이 생기는데 크기가 같으면 서로 맞꼭지각이어야 해요. ∠i와 맞꼭지각인 것은 ∠k니까 ∠i와 ∠k의 크기가 같아요.
글 처음에 말한 것처럼 동위각, 엇각을 찾는 건 쉬운 문제가 아니에요. 위에서 알려드린 몇 가지 팁을 이용해서 연습을 많이 해보세요.
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