삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질

이제부터 공부할 삼각형의 외심과 내심은 매우 중요해요. 삼각형의 내심과 외심은 도형 관련 문제에서 제일 많이 나오는 것 중의 하나입니다. 내용도 어려운 편이에요.

이제까지 했던 것에 비해서 선분이나 각이 많이 나오니까 알파벳 하나하나에 집중해서 보세요. 그림이 보기 어려우면 교과서나 참고서의 그림을 함께 보세요. 색이 잘 칠해져 있어서 보기가 더 편할 수도 있어요.

삼각형 외심의 증명

삼각형에서 각 변의 수직이등분선을 그으면 한 점에서 만나요. 이 점을 외심이라고 하는데 이 점이 아주 중요해요. 먼저 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.

△ABC에서 , 의 수직이등분선을 그려요. 두 수직이등분선은 평행하지 않으니까 어느 한 점에서 만날 거예요. 그 점을 점 O라고 하죠. 의 중점을 점 D, 의 중점을 점 E라고 할게요. 그리고 점 O에서에 수선을 내리고 수선의 발을 점 F라고 하지요. 또 점 O에서 세 꼭짓점 A, B, C로 선을 긋습니다.

세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는지를 확인하려면 매우 복잡하니까 잘 보세요. 일단 두 변 (, )의 수직이등분선의 교점(O)에서 다른 한 변()에 수선을 내려요. 그리고 수선의 발(점 F)이 한 변 ()의 중점인지 확인하는 방법으로 확인할 거예요.

의 수직이등분선과 의 수직이등분선의 교점을 점 O라고 하면 ,, , 죠. 점 O에서 에 내린 수선의 발이 점 F니까 죠. 그렇다면 인지만 확인하면 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 확인할 수 있다는 얘기예요.

△ODA와 △ODB는 (이등분), ∠ODA = ∠ODB = 90°(수직), 가 공통인 SAS합동이에요. 따라서 대응변인 (1)  = 가 돼요.

같은 방법으로 △BOC에서 (2)  = 가 됩니다.

결국 (1), (2)에 의해서  =  = 가 되는 거예요.

∠OFA = ∠OFC = 90°,  = 이고, 는 공통이므로 RHS 합동에 의해서 △OFA ≡ △OFC이죠. 대응변인  가 됩니다. 이고, ∠OFA = ∠OFC = 90°이므로 가 의 수직이등분선임을 알 수 있어요.

결국, 세 변의 수직이등분선은 한 점 O에서 만나게 된다는 걸 증명했어요.

세 개의 이등변삼각형과 세 쌍의 합동인 삼각형

먼저, 세 개의 이등변삼각형을 찾아보죠.

= 이니까 △OAB는 이등변삼각형이겠죠? 이등변삼각형의 성질에 의해서 밑각의 크기는 같으니까 ∠OAB = ∠OBA이고요. 마찬가지로 △OBC도 이등변삼각형이고, ∠OBC = ∠OCB입니다. △OCA도 이등변삼각형, ∠OCA = ∠OAC고요.

또, 수직이등분선을 이용해서 삼각형을 6개 만들 수 있어요. 위에서 확인했던 것처럼 SAS 합동인 삼각형이요. △ODA ≡ △ODB, △OEB ≡ △OEC, △OFC ≡ △OFA로 총 3쌍의 합동인 삼각형이 있어요.

삼각형의 외심의 성질 - 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

위 증명 과정에서 중요한 게 하나 있어요. 점 O에서 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C에 이르는 거리가 같죠.  =  =

점 O를 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원을 그리면 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 그릴 수 있죠? 이 원은 삼각형의 바깥에 있는데, 꼭짓점과 만나요. 이렇게 만나는 걸 접한다고 해요.

이렇게 다각형의 꼭짓점을 모두 지나는(접하는) 원을 외접원이라고 해요. 그리고 그 외접원의 중심을 외심이라고 하고요. 외심은 Outer center에서 첫 글자를 따서 O라고 표시합니다.

삼각형의 외심
삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
 =  =

외심은 세 변의 수직이등분선의 교점인데, 세 선이 한 점에서 만나니까 두 변의 수직이등분선만 그어서도 알 수 있어요.

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정리해볼까요

삼각형의 외심

• 삼각형의 외심: 세 변의 수직이등분선의 교점
• 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. =  =

각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동 조건 이용

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삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용