이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.
먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.
다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.
삼각형 외심의 위치
예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치
삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.
예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.
직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.
△ABC가 직각삼각형이고, 
직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 
삼각형 외심의 활용
점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°
점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요. 
삼각형 내각의 합은 180°이므로 2∠x + 2∠y + 2∠z = 180°이고, ∠x + ∠y + ∠z = 90°가 됩니다.
∠BOC = 2∠A
아래 그림처럼 △OAB만 따로 떼서 생각해보죠. 선분 OA의 연장선을 그어요.
삼각형 외각의 크기, 외각의 합에 따르면 삼각형의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같아요. ∠BOD = ∠OAB + ∠OBA
여기서, ∠OAB = ∠OBA니까 ∠BOD는 2∠OAB에요.
마찬가지로 △OAC에서 삼각형의 외각과, ∠OCA = ∠OAC에 따라 ∠COD = 2∠OAC가 되지요.
결국, ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2∠OAB + 2∠OAC = 2∠A가 됩니다.
점 O가 △ABC의 외접원의 중심일 때, ∠C의 크기를 구하여라.
점 O가 외심이므로, △OAB는 
∠AOB = 2∠C이므로 ∠C = 120 ÷ 2 = 60°네요.
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