각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

각의 이등분선의 성질 1

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

각의 이등분선의 성질 2

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 선분 OD가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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정리해볼까요

각의 이등분선의 성질

  • 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.
  • 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있다.
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