이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.

먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.

SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.

직각삼각형

직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.

직각삼각형

직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.

직각삼각형의 합동조건

직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.

삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.

RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동

직각삼각형 합동의 조건 (1) - RHA 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, , ∠B = ∠E

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.

따라서 △ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

직각삼각형의 합동조건 (2) - RHS 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, ,

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠.  니까 두 변이 겹치게 해서 △ABC와 △DEF를 하나로 합쳐볼까요?

직각삼각형의 합동조건 (2) - RHS 합동 2

그러면 인 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에서 이등변삼각형은 밑각의 크기가 같다고 했잖아요. 그럼 ∠B = ∠E가 돼요.

삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.

△ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 이다. 선분 AD의 길이를 구하여라.
직각삼각형의 합동 조건 - 예제

△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?

∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.

, 한 각은 직각이고, 예각 중 하나가 같으니까 △ABD와 △ACE는 RHA합동이에요.

변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.

함께 보면 좋은 글

[중등수학/중1 수학] - 도형의 합동, 삼각형의 합동조건
이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질

정리해볼까요

직각삼각형의 합동조건

  • RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
  • RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동
<<    중2 수학 목차    >>
 
신고