비례식은 초등학교 때 공부했지만 중학교에서는 직접 공부한 적은 없어요. 다만, 공식을 유도하거나 증명할 때 사용하기는 했었죠.

비례식은 유리식 중에서 약간 어려운 편에 속해요. 식을 그 자체로 푸는 게 아니라 변형을 해야 하고, 때로는 서술형 문제로 나오는 경우도 있거든요. 서술형 문제를 풀어보고 식 세우는 연습을 많이 하세요.

비례식 문제에서는 가비의 리라는 아주 유명한 공식이 있어요. 가비의 리라는 용어는 좀 이상하지만 알고 보면 별것 아닌 공식이에요. 더하기만 잘하면 되는 거니까 쉽게 외우고 적용할 수 있을 거예요.

비례식 푸는 법

비례식은 거의 사용하지 않는 식이라서 아마도 용어들을 다 잊어버렸을 거예요. 비례식에서 사용하는 용어를 간단하게 정리해볼게요.

비례에서 : 앞에 있는 항을 전항, : 뒤에 있는 항을 후항이라고 해요. A : B에서는 : 앞에 있는 A가 전항, : 뒤에 있는 B가 후항이에요.

비례를 분수식을 바꿀 수 있죠? a : b → a/b로 바꿀 수 있어요. 전항에 해당하는 게 분자, 후항에 해당하는 게 분모죠. 물론 거꾸로 할 수도 있지만 대게는 이렇게 바꿔요.

A : B = C : D처럼 두 개 이상의 비가 등호(=)로 연결된 걸 비례식이라고 하는데, 안쪽에 있는 두 항을 내항이라고 하고, 바깥쪽에 있는 두 항을 외항이라고 해요. 비례식에선 (내항의 곱) = (외항의 곱)이에요.

비례식의 성질

위 내용은 비례식의 기본적인 성질이고, 실제 문제에서는 사용하지 않는 거예요. 그렇다고 그냥 넘겨서는 안돼요.

A : B = C : D를 분수로 고치면 비례식을 분수로 1로 고칠 수도 있지만 비례식을 분수로 2로도 고칠 수 있어요. 앞에 있는 비례가 분자로, 뒤에 있는 비례가 분모로 들어갈 수 있다는 거예요. 위 그림의 AD = BC의 양변을 CD로 나눠보면 돼요.

실제 비례식 문제는 아래의 순서로 풉니다.

  1. 비례를 분수로 고치고 값을 k로
  2. 문자를 k에 관한 식으로 변경
  3. 문제에 k에 관한 식을 대입

x : y : z = 2 : 3 : 4일 때, 비례식 예제의 값을 구하여라. (단, xyz ≠ 0)

비례식을 분수로 바꾸고 k라고 놓지요.

비례식 예제 풀이 1라고 하면
x = 2k, y = 3k, z = 4k
x, y, z를 문제에 대입하면
비례식 예제 풀이 2

가비의 리

가비의 리는 용어가 좀 이상하죠?

가비의 리

가비의 리는 전항 : 후항 = (전항의 합) : (후항의 합) 이 성립하는 걸 말해요. 가비의 리라는 말이 비를 더한 것의 원리라는 뜻이거든요.

첫 번째 공식의 좌변과 우변을 분수로 고치면 두 번째 줄의 가비의 리를 구할 수 있어요.

가비의 리가 진짜로 성립하는지 증명해보죠.

가비의 리 증명 1라고 하면,
a = bk, c = dk, e = fk
a + c + e = bk + dk + fk = (b + d + f)k
a + c + e를 식에 대입하면
가비의 리 증명 2

가리의 리에서 또 하나 성립하는 게 있어요. 각 분수의 분자, 분모에 실수를 곱해서 더한 것의 비도 같아요.

가비의 리 2

같은 방법으로 증명해보죠.

가비의 리 2 증명 1라고 하면,

a = bk, c = dk, e = fk
pa = pbk , qc = qdk, re = rfk
pa + qc + re = pbk + qdk + rfk = (pb + qd + rf)k

가비의 리 2 증명 2

가비의 리를 이용하여 문제를 풀 때는 분모에 해당하는 b + d + f가 0인지 아닌지에 따라 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. b + d + f ≠ 0이라면 가비의 리를 그대로 적용하면 되고, b + d + f = 0이면 b + d = -f 처럼 이 식을 변형해서 원래 식에 대입하여 값을 구합니다.

가비의 리 예제일 때 k의 값을 구하여라.

가비의 리를 적용할 때는 분모의 합이 0인지 아닌 지 두 가지 경우로 나눠야 해요.

ⅰ) a + b + c ≠ 0일 때

가비의 리 예제 풀이 1

ⅱ) a + b + c = 0일 때
a + b = -c

가비의 리 예제 풀이 2

∴ k = 2 or -1

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정리해볼까요

비례식

  • 비를 상수 k로 놓고 문자를 k를 이용한 식으로 바뀌어 문제에 대입
  • A : B = C : D ⇔ AD = BC
  • 가비의 리
    가비의 리
 
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