유리식에서 가장 많이 사용하는 공식이 바로 부분분수 공식이에요. 부분분수 공식 자체는 어렵게 느껴질 수 있겠지만, 이 공식을 이용하면 복잡한 계산식을 아주 아주 간단하게 바꿀 수 있어요. 효율이 좋은 공식이죠. 한 두 문제만 풀어보면 어떻게 간단해지는지 감을 잡을 거예요.

번분수는 가끔 보기는 했을 텐데, 이제 좀 더 정확하게 알아봐요. 번분수는 계산하기가 상당히 복잡하고 까다로워요. 그래서 집중해서 풀어야 하는 문제 유형이죠. 모든 계산을 한꺼번에 할 수 없으니까 필요한 부분만 찾아서 하나씩 하나씩 계산해야 합니다.

부분분수 공식

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

부분분수 공식

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

부분분수 공식 유도

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식 쉬운 예제

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.
부분분수 예제

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구해야 하는데, 위 식을 통분해서 구하면 분모는 10차식이 되고 분자는 8차식이 될 거예요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용하는 겁니다.

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

부분분수 예제 풀이 1

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

부분분수 예제 풀이 2

제일 윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

부분분수 - 분자가 1이 아닐 때

번분수

번분수는 분자나 분모가 분수식인 분수를 말해요. 둘 다 분수일 수도 있고, 하나만 분수일 수도 있어요. 계산하기 정말 번거로운 분수죠. 번분수를 그냥 분수로 나타낼 때는 번분수의 안쪽에 있는 것의 곱이 분모가 되고, 번분수의 바깥쪽에 있는 게 분자가 돼요.

번분수의 성질

번분수의 분자, 분모를 나눗셈으로 고쳐서 계산해보면 위의 성질을 증명할 수 있어요.

번분수 증명

혹시 분수식에서 분자나 분모 하나만 분수일 때도 있는데, 이때는 분수의 분모가 1이라고 생각하면 돼요.

번분수 - 분자 또는 분모의 분모가 1일 때

분자에도 분수가 있고, 분모에도 분수가 있으니까 번분수 문제를 풀 때는 분자, 분모를 잘 구별해야 해요. 이게 분자의 분모인지 분모의 분자인지 헷갈릴 수 있거든요. 문제를 풀 때는 가로로 선을 길게 그어서 차이를 분명하게 알 수 있도록 하세요.

다음을 간단히 하여라.
번분수 예제

분모가 되게 복잡하죠? 제일 밑에 있는 것부터 하나씩 순서대로 풀어보죠. 사각형으로 된 부분만 계산하고 나머지는 그냥 그대로 쓰는 거예요.

번분수 예제 풀이

함께 보면 좋은 글

유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
가비의 리, 비례식 푸는 법
여러가지 유리식의 풀이
유리함수, 다항함수, 분수함수, 점근선

정리해볼까요

부분분수와 번분수

  • 부분분수 공식
  • 번분수
>>   비례식
 
신고