유리식에서 가장 많이 사용하는 공식이 바로 부분분수 공식이에요. 부분분수 공식 자체는 어렵게 느껴질 수 있겠지만, 이 공식을 이용하면 복잡한 계산식을 아주 아주 간단하게 바꿀 수 있어요. 효율이 좋은 공식이죠. 한 두 문제만 풀어보면 어떻게 간단해지는지 감을 잡을 거예요.
번분수는 가끔 보기는 했을 텐데, 이제 좀 더 정확하게 알아봐요. 번분수는 계산하기가 상당히 복잡하고 까다로워요. 그래서 집중해서 풀어야 하는 문제 유형이죠. 모든 계산을 한꺼번에 할 수 없으니까 필요한 부분만 찾아서 하나씩 하나씩 계산해야 합니다.
부분분수 공식
부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.
앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.
분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.
부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.
숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.
부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.
다음을 간단히 하여라.
유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구해야 하는데, 위 식을 통분해서 구하면 분모는 10차식이 되고 분자는 8차식이 될 거예요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용하는 겁니다.
각 항을 부분분수로 바꿔보죠.
우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.
제일 윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.
앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.
분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.
번분수
번분수는 분자나 분모가 분수식인 분수를 말해요. 둘 다 분수일 수도 있고, 하나만 분수일 수도 있어요. 계산하기 정말 번거로운 분수죠. 번분수를 그냥 분수로 나타낼 때는 번분수의 안쪽에 있는 것의 곱이 분모가 되고, 번분수의 바깥쪽에 있는 게 분자가 돼요.
번분수의 분자, 분모를 나눗셈으로 고쳐서 계산해보면 위의 성질을 증명할 수 있어요.
혹시 분수식에서 분자나 분모 하나만 분수일 때도 있는데, 이때는 분수의 분모가 1이라고 생각하면 돼요.
분자에도 분수가 있고, 분모에도 분수가 있으니까 번분수 문제를 풀 때는 분자, 분모를 잘 구별해야 해요. 이게 분자의 분모인지 분모의 분자인지 헷갈릴 수 있거든요. 문제를 풀 때는 가로로 선을 길게 그어서 차이를 분명하게 알 수 있도록 하세요.
다음을 간단히 하여라. (단, x ≠ 0, x ≠ 1)
분모가 되게 복잡하죠? 제일 밑에 있는 것부터 하나씩 순서대로 풀어보죠. 사각형으로 된 부분만 계산하고 나머지는 그냥 그대로 쓰는 거예요.
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