이번에는 점과 도형의 대칭이동입니다. 대칭이동은 그 내용도 쉬운데 이차함수 그래프의 대칭이동에서 해본 적이 있으니까 더 쉬울 거예요. 게다가 평행이동과 달리 점의 좌표의 대칭이동과 도형의 방정식의 대칭이동이 결과가 같으니까 더욱더 쉽죠.
대칭이동에서는 좌표평면에서 항상 함께하는 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동하는 걸 해볼 거고요. 대칭이동했을 때 점의 좌표와 도형의 방정식이 어떻게 바뀌는 지 알아볼 거예요. 대칭이동한 후에 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지만 주의해서 보면 됩니다.
점과 도형의 대칭이동
대칭이동은 평면 위의 도형을 한 점 또는 한 직선에 대칭인 도형으로 옮기는 걸 말해요. 점에 대하여 대칭이동하는 걸 점대칭, 선에 대하여 대칭이동하는 걸 선대칭이라고 하지요.
점의 좌표의 대칭이동
제 1사분면 위에 (2, 3)라는 점이 있다고 해볼게요. 이 점을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동 해보죠.
제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 x축에 대하여 대칭이동하면 제 4사분면 위의 점 (2, -3)이 되니까 x좌표의 부호 그대로고, y좌표의 부호는 반대로 바뀌어요.
제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 y축에 대하여 대칭이동하면 제 2사분면 위의 점 (-2, 3)이 되니까 x좌표의 부호는 반대로 바뀌고, y좌표의 부호는 그대로죠.
제 1사분면 위의 점 (2, 3)을 원점에 대하여 대칭이동하면 제 3사분면 위의 점 (-2, -3)이 되니까 x좌표와 y좌표의 부호가 둘 다 반대로 바뀌어요.
제 1사분면의 점을 예로 들었는데, 제 2사분면의 점도 마찬가지에. 제 2사분면 위의 점 (-2, 3)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (-2, 3)가 되니까 x좌표의 부호는 그대로, y좌표의 부호는 반대로 바뀌죠.
이걸 (x, y)라는 점을 이용해서 표현해보죠.
점 (x, y)를 x축에 대하여 대칭이동하면 y → -y
점 (x, y)를 y축에 대하여 대칭이동하면 x → -x
점 (x, y)를 원점에 대하여 대칭이동하면 x → -x, y → -y
주의하세요. x축에 대하여 대칭이동하면 x좌표의 부호가 아니라 y좌표의 부호가 반대로 바뀌고, y축에 대하여 대칭이동하면 y좌표의 부호가 아니라 x좌표의 부호가 반대로 바뀌는 거예요.
원점에 대하여 대한 대칭이동은 x축에 대하여 대칭이동한 점을 다시 y축에 대하여 대칭이동한 것과 같아요. 축과 원점에 대하여 대칭이동하면 값의 절댓값은 그대로고 부호만 바뀌는 것도 알아두세요.
도형의 방정식의 대칭이동
이번에는 도형을 대칭이동해보죠. 도형의 대칭이동은 이차함수 그래프의 대칭이동에서 이미 한 번 해봤던 내용이에요. 그리고 바로 위에서 했던 점의 좌표의 대칭이동과 완전히 같아요.
도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현한다고 했어요. f(x, y) = 0을 x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 f(x', y') = 0이라고 해보죠. f(x, y) = 0 위의 임의의 한 점의 좌표를 P(x, y)라고 하고, f(x', y') = 0 위의 한 점을 P'(x', y')라고 하고요.
x' = x → x = x'
y' = -y → y = -y'
도형의 평행이동에서 했던 것과 마찬가지로 원래 알고 있던 식인 f(x, y) = 0에 이 x = x', y = -y'을 대입하면 f(x', -y') = 0이 돼요. 여기서 '을 그냥 떼버리면 f(x, -y) = 0이 되죠.
f(x, y) = 0 → f(x', -y') = 0 → f(x, -y) = 0
y축, 원점에 대하여 대칭이동한 경우도 이런 방법으로 도형의 방정식을 구할 수 있어요.
도형의 방정식 f(x, y) = 0을 x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(x, -y) = 0
f(x, y) = 0을 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(-x, y) = 0
f(x, y) = 0을 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x, y 대신 -y를 넣으면 돼요. f(x, y) = 0 → f(-x, -y) = 0
점의 좌표와 도형의 방정식의 대칭이동을 표로 정리해보죠.
| 점의 좌표 | 도형의 방정식 | ||
|---|---|---|---|
| x축 대칭 | y → -y | (x, y) → (x, -y) | f(x, y) = 0 → f(x, -y) = 0 |
| y축 대칭 | x → -x | (x, y) → (-x, y) | f(x, y) = 0 → f(-x, y) = 0 |
| 원점 대칭 | x → -x y → -y |
(x, y) → (-x, -y) | f(x, y) = 0 → f(-x, -y) = 0 |
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 10이 나타내는 도형을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.
x축에 대하여 대칭이동하면 y → -y로 바꿔줘요.
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 10
→ (x - 4)2 + (-y - 2)2 = 10
(x - 4)2 + (y + 2)2 = 10
y축에 대하여 대칭이동하면 x → -x로 바꿔줘요.
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 10
→ (-x - 4)2 + (y - 2)2 = 10
(x + 4)2 + (y - 2)2 = 10
원점에 대하여 대칭이동하면 x → -x, y → -y로 바꿔줘요.
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 10
→ (-x - 4)2 + (-y - 2)2 = 10
(x + 4)2 + (y + 2)2 = 10
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