평행이동, 점과 도형의 평행이동

평행이동은 이차함수의 그래프에서 공부했던 거예요. 여기서는 이차함수 그래프의 평행이동을 왜 그렇게 하는지 그 이유를 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 그렇다고 대단한 건 아니고 별거 아니에요. 생각보다 쉬워요.

어차피 도형의 평행이동과 이차함수 그래프의 평행이동은 같은 거니까 그 결과만 잘 기억하고 있으면 되는 거죠. 처음 도형과 평행이동한 도형의 관계만 잘 파악하면 돼요.

다만 점의 평행이동과 도형의 평행이동은 작지만 중요한 차이가 있으니 그것만 잘 구별하세요. 점과 도형의 평행이동이 어떻게, 왜 다른지 알아보죠.

점과 도형의 평행이동

좌표평면 위의 점 또는 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리 만큼 옮기는 걸 평행이동이라고 해요. 이때 도형의 모양은 바뀌지 않아요. 그 모습 그대로 위치만 바꾸는 겁니다.

점의 평행이동

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 평행이동 시켜보죠. x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표를 P'(x', y')라고 해볼게요.

x' = x + a
y' = y + b

따라서 점 P'(x', y')의 좌표는 P(x + a, y + b)가 돼요.

a > 0이면 x축에서 오른쪽으로, a < 0이면 x축에서 왼쪽으로 이동하고,
b > 0이면 y축에서 위쪽으로, b < 0이면 y축에서 아래쪽으로 이동해요.

점의 평행이동
점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 P'(x + a, y + b)
P(x, y) → P'(x + a, y + b)

도형의 평행이동

도형의 평행이동은 이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q에서 해본 적이 있어요. 이때 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 y = a(x - p)² + q가 된다고 했어요. x대신 x - p를 y대신 y - q를 넣는다고 했지요. 이걸 또 하는 거예요.

함수를 y = f(x)라고 하죠? 좌변은 y, 우변은 x에 관한 식이라서 f(x)라고 하는데, 이 둘을 합치니까 y = f(x)가 되는 거예요. 보통 평면좌표 위의 도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 표현해요. 원의 방정식, 직선의 방정식의 일반형의 좌변은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y)라고 하고, 우변은 0이잖아요. 이 두 개를 합쳐서 f(x, y) = 0이라고 쓰는 거지요.

어떤 도형이 있다고 해보죠. 그 도형 위의 임의의 점 P(x, y)가 있어요. 이 점 P를 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동 시킨 점 P'의 좌표를 P'(x', y')라고 해보죠.

x' = x + a → x = x' - a
y' = y + b → y = y' - b

처음의 도형은 x, y에 관한 식이니까 f(x, y) = 0이고, 평행이동한 도형은 x', y'에 대한 식이니까 x', y'라는 문자가 들어간 식으로 표현해야 하잖아요. 그런데 이 새로운 식을 몰라요. 그래서 기존에 알고 있던 식을 변형시켜서 구해야 하는데, 기존에 알고 있던 식이 f(x, y) = 0이죠.

처음 식의 x, y에 x = x' - a, y = y' - b를 대입하면 x, y에 관한 원래 식이 x', y'에 관한 새로운 식으로 바뀌는 거예요. f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0

즉, P'(x', y')에 대한 식은 f(x' - a, y' - b) = 0이라는 걸 알 수 있어요.

f(x', y') = 0은 점 P'(x', y')에서 x'와 y'의 관계인데, 가령 점 K(m, n)이라면 f(m – a, n – b) = 0이 될 거고, 점 Z(s, t)라면 f(s – a, t – b) = 0이 될 거예요. 즉 어떤 문자를 사용하든 점의 좌표 중 앞에 있는 문자에서 a를 빼고, 뒤에 있는 문자에서 b를 빼는 식이라는 거죠.

좌표평면에서 도형의 방정식은 x', y'도 아니고 m, n도 아니고 s, t도 아닌 x, y로 나타내죠? 그러니까 x, y의 식 즉 f(x, y)= 0꼴로 나타내야 하니까, 앞에 있는 x에서 a를, 뒤에 있는 y에서 b를 뺀 f(x – a, y – b) = 0이 돼요.

f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

도형의 평행이동
방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 f(x - a, y - b) = 0
f(x, y) = 0 → f(x' - a, y' - b) = 0 → f(x - a, y - b) = 0

점의 평행이동에서는 평행이동한 것만큼 더해줬는데, 도형의 평행이동에서는 이동한 만큼 빼주는 거예요. 차이를 잘 기억하세요.

다음을 구하여라.
(1) y = 2x²를 x축으로 3만큼, y축으로 5만큼 이동한 이차함수의 그래프
(2) x² + y² - 10 = 0을 x축으로 4만큼, y축으로 -6만큼 이동한 도형의 방정식

도형을 x축으로 a만큼 평행이동하면 x대신 x - a, y축으로 b만큼 평행이동하면 y대신 y - b를 대입해주면 돼요.

(1) 번은 이차함수 그래프의 평행이동이에요.
x축으로 3만큼 평행이동: x → x - 3
y축으로 5만큼 평행이동: y → y - 5

y - 5 = 2(x - 3)²
y = 2(x - 3)² + 5

(2) 번은 원의 방정식의 일반형이네요.
x축으로 4만큼 평행이동: x → x - 4
y축으로 -6만큼 평행이동: y → y - (-6) = y + 6

(x - 4)² + (y + 6)² - 10 = 0
(x - 4)² + (y + 6)² = 10