원의 접선의 방정식 세 번째에요. 이번에는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식이에요. 원 안에서는 원에 접선을 그을 수는 없으니까 당연히 원 밖의 한 점이어야겠죠?
여기서는 공식이 나오지 않아요. 게다가 접선의 방정식을 구하는 방법도 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법을 그대로 사용하니까 이해하기 쉬울 거예요. 대신 계산이 조금 복잡한데 문제에서는 계산하기 쉽게 식을 간단하게 주니까 많이 어렵지는 않을 거예요.
앞에서 충분히 했던 내용이니까 나머지는 그대도 하면 되고, 핵심적인 내용 딱 한 가지만 기억하세요.
원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
원 밖의 한 점 P(x1, y1)에서 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 그은 접선의 방정식을 구하는 건데 다른 말로는 점 P(x1, y1)을 지나고 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하는 직선의 방정식이라고도 표현해요. 직선이 2개가 생기죠?
이 직선의 기울기를 아직 모르는데 m이라고 가정해 볼게요. 이게 이 글의 핵심이에요. 기울기를 m으로 놓는 거요. 그럼 우리가 구하려고 하는 접선의 방정식은 기울기가 m이고 점 P(x1, y1)을 지나는 직선이에요. 직선의 방정식 구하기에서 해봤죠?
y - y1 = m(x - x1)
이 직선에서 m을 구하면 식이 완성돼요. m을 구하는 방법은 두 가지에요. 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법 두 가지와 같아요. 판별식 D를 이용하는 방법과 (원의 중심과 직선 사이의 거리) = (반지름)을 이용하는 방법이요.
위의 직선을 y에 관해서 정리하면 표준형으로 바꿀 수 있어요. y = m(x - x1) + y1
이렇게 y에 관해서 정리한 식을 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 되고, 여기서 판별식 D = 0일 때, m을 구하면 돼요.
위의 직선을 일반형으로 바꿔보세요. mx - y - mx1 + y1 = 0
원의 중심 (a, b)에서 접선 mx - y - mx1 + y1 = 0까지의 거리가 반지름 r과 같다는 것을 이용해서 m을 구할 수도 있어요.
원 밖의 한 점(x1, y1)에서 원 (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 그은 접선의 방정식
기울기를 m이라고 가정하고 y - y1 = m(x - x1)이라는 식을 세운다.
(1) y - y1 = m(x - x1)을 원의 방정식에 대입하여 판별식 D = 0 이용하여 m을 구하거나
(2) 원의 중심(a, b)에서 직선까지의 거리 = 반지름을 이용하여 m을 구한다.
(0, 4)를 지나고 x2 + y2 = 9에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.
한 점을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식이 바로 한 점에서 그은 접선의 방정식이에요. 같은 말이니까 헷갈리지 마세요.
직선의 방정식의 기울기를 m이라고 가정하면 이 직선이 (0, 4)를 지나니까 식을 세울 수 있어요.
y - 4 = m(x - 0)
y = mx + 4
이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x2 + (mx + 4)2 = 9
x2 + m2x2 + 8mx + 16 - 9 = 0
(m2 + 1)x2 + 8mx + 7 = 0
D/4 = (4m)2 - (m2 + 1) × 7 = 0
16m2 - 7m2 - 7 = 0
9m2 = 7
m2 =
m = ±
답은 y = ±
이번에는 판별식이 아니라 원의 중심에서 접선까지의 거리를 이용해서 구해볼까요?
y = mx + 4
mx - y + 4 = 0
원의 중심은 (0, 0)이고 반지름은 3, 접선의 방정식은 mx - y + 4 = 0이에요.
y = ±
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