원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.

접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.

접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.

원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식

원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x1, y1)라고 할게요.

원의 접선의 방정식 1 - 접점을 알 때

원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.

직선 l은 기울기가 m이고, P(x1, y1)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
 ……… ①

일반적으로 기울기는 인데, 원의 접선의 방정식 l은 기울기는 거꾸로예요. 그리고 앞에 (-)가 붙고요.

①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.

접점 P(x1, y1)는 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접이기도 해요. (x1, y1)을 대입해보죠.
(x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r……… ②

①, ②식을 연립해서 전개, 정리하면 복잡한 과정을 거쳐서 아래 공식을 유도할 수 있어요. 전개 과정은 생략할게요.

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2

원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r2인데, (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2으로 바뀌었죠? x 하나가 x1으로, y 하나가 y1으로 바뀐 형태예요……

원의 접선의 방정식
(x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접점 P(x1, y1)을 지나는 접선의 방정식

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2

두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.

다음을 구하여라.
(1) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식

(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r2 = 5예요.

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0

어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?

(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r2 = 50이네요.

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0

(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 2y - 7 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 17

원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r2 = 17이군요.

(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0

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원과 직선의 위치관계

정리해볼까요

원의 접선의 방정식

  • (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접점 P(x1, y1)을 지나는 접선의 방정식
  • (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
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