두 원의 교점을 지나는 원의 방정식

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식과 거의 비슷해요. 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 표준형이 아니라 일반형을 이용했어요. 그리고 항등식의 성질을 이용했죠. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식에서도 일반형과 항등식의 성질을 이용합니다.

차이가 있다면 때에 따라서는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 나올 수도 있다는 거예요. 어떤 경우에 원의 방정식이 되고, 어떤 경우에 직선의 방정식이 되는지 잘 알아두세요.

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식

그림에서 보듯이 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 무수히 많아요. 그래서 교점만 가지고는 원의 방정식을 구할 수 없죠. 대게 문제에서는 교점이 아닌 다른 점의 좌표를 주거나 다른 힌트를 줍니다. 다른 힌트를 대입할 수 있게 미리 원의 방정식을 만들어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식에서 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이라고 했어요. (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이었죠.

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식도 똑같아요. 두 원의 방정식을 x² + y² + Ax + By + C = 0, x² + y² + A'x + B'y + C' =0이라고 한다면 (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0으로 두면 돼요.

이 방정식도 k에 관한 항등식을 이용해서 증명할 수 있어요.

두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0과 x² + y² + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식
⇔ (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0
⇔ x² + y² + Ax + By + C + k(x² + y² + A'x + B'y + C') = 0

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식

그런데 k = -1일 때를 보죠.

x² + y² + Ax + By + C - (x² + y² + A'x + B'y + C') = 0
x² + y² + Ax + By + C - x² - y² - A'x - B'y - C') = 0
(A - A')x + (B - B')y + (C - C') = 0

전개한 결과는 ax + by + c = 0꼴의 직선의 방정식의 일반형이에요. 즉 k = -1일 때는 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이 아니라 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 된다는 걸 알 수 있어요.

두 원의 방정식이 x² + y² - 2x + 14y - 50 = 0과 x² + y² + 6x + 8y - 25 = 0일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 두 원의 교점과 (0, 0)을 지나는 원의 방정식
(2) 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 x² + y ² + Ax + By + C + k(x² + y² + A'x + B'y + C') = 0이에요. k ≠ -1이면 원의 방정식이고, k = -1이면 직선의 방정식이 되죠.

(1)번은 x² + y² - 2x + 14y - 50 + k(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0인데, 이 원의 방정식이 원점 (0, 0)을 지나니까 (0, 0)을 대입해보죠.

-50 + k(-25) = 0
25k = -50
k = -2

k = -2를 원래의 식에 대입하면
x² + y² - 2x + 14y - 50 - 2(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0
x² + y² - 2x + 14y - 50 - 2x² - 2y² -12x -16y + 50 = 0
-x² - y² - 14x - 2y = 0
x² + y² + 14x + 2y = 0

(2)번은 x² + y² - 2x + 14y - 50 + k(x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0에서 k = -1이면 돼요.

x² + y² - 2x + 14y - 50 - (x² + y² + 6x + 8y - 25) = 0
x² + y² - 2x + 14y - 50 - x² - y² - 6x - 8y + 25 = 0
-8x + 6y - 25 = 0
8x - 6y + 25 = 0

함께 보면 좋은 글

원의 방정식, 원의 방정식 표준형
세 점을 지나는 원의 방정식, 원의 방정식 일반형
아폴로니오스의 원, 아폴로니오스의 원 증명
축에 접하는 원의 방정식
두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식
직선의 방정식의 일반형, 직선의 방정식의 표준형
항등식과 항등식의 성질

정리해볼까요

두 원 x² + y² + Ax + By + C = 0과 x² + y² + A'x + B'y + C' = 0의 교점을 지나는 원의 방정식

• (원의 방정식 1) + k(원의 방정식 2) = 0
• x² + y² + Ax + By + C + k(x² + y² + A'x + B'y + C') = 0
• k ≠ -1이면 원의 방정식, k = -1이면 직선의 방정식

축에 접하는 원의 방정식

<<  수학 1 목차  >>

원과 직선의 위치관계