원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.

이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.

표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.

세 점을 지나는 원의 방정식

원의 방정식의 표준형은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요. 전개해보죠.

(x - a)2 + (y - b)2 = r2
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

여기서 -2a = A, -2b = B, a2 + b2 - r2 = C라는 문자로 치환하면
x2 + y2 + Ax + By + c = 0

원의 방정식 일반형
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.

세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

세 점을 지나는 원의 방정식, 원의 방정식 일반형

x2 + y2 + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.

(-2)2 + 22 - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①

42 + (-6)2 + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②

52 + (-5)2 + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③

A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?

① + ② = 6A - 8B = -44
              3A - 4B = -22 ……… ④

① + ③ = 7A - 7B = -42
              A - B = -6  ……… ⑤

④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4

①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20

답은 x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0

원의 방정식 일반형을 표준형으로

원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.

원의 방정식 일반형을 표준형으로 바꾸기

원의 중심의 좌표는 원의 중심이고, 반지름은 반지름에요.

표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.

A2 + B2 - 4C > 0

이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.

x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.

A2 + B2 - 4C > 0
(-6)2 + 82 - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25

일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?

x2 + y2 - 6x + 8y + k = 0
x2 - 6x + y2 + 8y + k = 0
x2 - 6x + 9 - 9 + y2 + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 + k - 25 = 0
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 - k

우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25

어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.

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정리해볼까요

원의 방정식 일반형

  • x2 + y2 + Ax + By + C = 0
  • 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 사용
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