원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.

직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.

원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.

원의 방정식

원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.

원의 방정식 - 좌표평면 위의 원

좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?

P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇔ (x - a)2 + (y - b)2 = r2

만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x2 + y2 = r2이겠죠?

위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.

다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원
(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원
(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원

원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요.

(1) 공식에 그대로 대입해보죠.
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 92

(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)2 + (y - 2)2 = r2에요.

원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.
(x + 1)2 + (y - 2)2 = r2
(2 + 1)2 + (6 - 2)2 = r2
32 + 42 = r2
r2 = 9 + 16
r2 = 25

구하는 원의 방정식은 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25

(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r2을 구할 수 있어요.

원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면

원의 중심은 (1, 2)이니까 (x - 1)2 + (y - 2)2 = r2이네요. (5, 9)를 대입해보죠.

(x - 1)2 + (y - 2)2 = r2
(5 - 1)2 + (9 - 2)2 = r2
42 + 72 = r2
r2 = 16 + 49
r2 = 65

따라서 원의 방정식은 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 65

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정리해볼까요

원의 방정식

  • 원: 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합
  • 원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
  • (x - a)2 + (y - b)2 = r2
  • 원의 방정식 표준형: 원의 중심, 반지름을 쉽게 구할 수 있다.
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