직선의 방정식에서는 축과 만나는 점이 있었어요. 그걸 x, y절편이라고 부르죠. x, y절편의 좌표를 이용해서 직선의 방정식을 구할 수 있었어요.
원의 방정식에서는 축과 단순히 만나는 게 아니라 접하는 경우에 대해서 공부할 거예요. x, y축에 접하는 원의 방정식은 어떤 특징이 있는지 알아보고, 이를 이용해서 축에 접하는 원의 방정식을 구하는 방법도 알아볼 거예요.
그냥 식만 생각하기보다는 그래프를 종이에 그려보면 조금 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요. 특징이 간단하니까 그래프만 그리면 문제는 금방 풀 수 있어요.
축에 접하는 원의 방정식
x축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x축에 접하고 있으므로 중심의 y좌표는 반지름 r과 같아요. b = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 4사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 b = r이 될까요? 원이 제 4사분면에 있다면 b < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 이때는 -b = r이라고 해야겠죠?
두 경우에 모두 적용될 수 있게 |b| = r이라고 합니다.
원이 제 1사분면에 있든 제 4사분면에 있든 상관없이 b2 = r2이니까 (x - a)2 + (y - b)2 = r2을 (x - a)2 + (y - b)2 = b2이라고 쓸 수 있어요.
x축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |b|
(x - a)2 + (y - b)2 = b2
y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표는 반지름 r과 같아요. a = r
원이 제 1사분면이 아니라 제 2사분면에 있다면 어떨까요? 그때도 a = r이 될까요? 원이 제 2사분면에 있다면 a < 0이에요. 반지름 r은 길이니까 무조건 0보다 커야 해요. 따라서 두 경우에 모두 적용될 수 있게 |a| = r이라고 해야겠죠?
여기서도 원이 위치한 사분면에 관계없이 a2 = r2니까 (x - a)2 + (y - b)2 = a2이라고 쓸 수 있어요.
y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값
r = |a|
(x - a)2 + (y - b)2 = a2
x, y축에 접하는 원의 방정식
위 그림에서 원의 중심의 좌표는 (a, b)에요. 그런데 원이 x, y축에 접하고 있으므로 중심의 x좌표와 중심의 y좌표, 반지름 r이 같아요. a = b = r
그런데, a, b는 원이 위치한 사분면에 따라서 부호가 달라져요. a또는 b가 (-)가 될 수 있다는 얘기지요. r은 양수여야 하니까 |a| = |b| = r이라고 해야 합니다.
앞선 두 경우에는 r을 a 또는 b로 대신 썼는데, 이번에는 반대로 a, b를 r로 바꿔서 나타내보죠.
원이 제 1사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (+)니까 원의 중심을 (r, r)이고 할 수 있죠.
(x - r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 2사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (-), y좌표는 (+)에요. 원의 중심을 (-r, r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y - r)2 = r2
원이 제 3사분면에 있으면 원의 중심은 둘 다 (-)니까 원의 중심을 (-r, -r)이고 할 수 있어요.
(x + r)2 + (y + r)2 = r2
원이 제 4사분면에 있으면 원의 중심의 x좌표는 (+), y좌표는 (-)에요. 원의 중심을 (r, -r)이고 할 수 있어요.
(x - r)2 + (y + r)2 = r2
| 원의 위치 | 중심의 좌표 | 원의 방정식 |
|---|---|---|
| 제 1사분면 | (r, r) | (x - r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 2사분면 | (-r, r) | (x + r)2 + (y - r)2 = r2 |
| 제 3사분면 | (-r, -r) | (x + r)2 + (y + r)2 = r2 |
| 제 4사분면 | (r, -r) | (x - r)2 + (y + r)2 = r2 |
x, y축에 접하는 원의 방정식
반지름 = 중심의 x좌표의 절댓값 = 중심의 y좌표의 절댓값
r = |a| = |b|
다음 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심의 좌표가 (1, 2)이고 x축에 접하는 원의 방정식
(2) 중심의 좌표가 (-3, -4)이고, y축에 접하는 원의 방정식
(3) 반지름의 길이가 5이고 제 4사분면에서 x, y축에 접하는 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이에요.
x축에 접하는 원이라면 중심의 y좌표의 절댓값과 반지름이 같고, y축에 접하는 원이라면 중심의 x좌표의 절댓값과 반지름이 같아요. x, y축에 동시에 접하는 원이라면 (중심의 x좌표 절댓값)= (중심의 y좌표 절댓값) = (반지름 r)이고요.
(1)은 x축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 y좌표| = |2| = r
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 22
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4
(2)는 y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |-3| = r
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 32
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 9
(3)은 x, y축에 접하는 원의 방정식이니까 |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = r이에요. 그런데, 제 4사분면 위에 있으니까 중심의 x좌표는 (+), 중심의 y좌표는 (-)에요. 원의 반지름이 5니까 중심의 좌표는 (5, -5)네요.
(x - 5)2 + (y + 5) 2= 52
(x - 5)2 + (y + 5)2 = 25
함께 보면 좋은 글
원의 방정식, 원의 방정식 표준형
세 점을 지나는 원의 방정식, 원의 방정식 일반형
아폴로니오스의 원, 아폴로니오스의 원 증명