기억나진 않겠지만, 원과 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 원과 직선의 위치관계에서 공부했었어요. 이때는 그림을 보면서 어떤 위치관계가 있는지만을 공부했었죠.

이제는 단순히 원과 직선의 위치관계의 종류뿐 아니라 그러한 위치를 갖는 조건을 알아볼 거예요. 물론 위치관계를 가질 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식의 관계를 말하죠. 주어진 식을 이용해서 원과 직선에 어떤 관계가 있을 때, 어떤 위치관계에 있는지를 알아보죠.

앞서 했던 여러 단원의 내용이 광범위하게 나오니까 전에 공부했던 내용을 잘 떠올려보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계는 그림에서 보듯이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 한 점에서 만날 때, 만나지 않을 때 세 가지 경우가 있어요. 한 점에서 만날 때를 접한다고 하고요.

원과 직선의 위치관계 1

판별식 이용

원의 방정식은 x, y에 관한 이차방정식이고 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차방정식이에요. 그래프에서의 교점은 원의 방정식의 해이면서 직선의 방정식의 해 즉 연립방정식의 해고요. 그러니까 교점의 개수를 구하는 건 연립방정식의 해의 개수를 구하는 것과 같아요.

이차방정식과 일차방정식으로 된 연립방정식은 일차식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식에 대입해서 풀었어요. 여기서도 이 방법을 이용합니다.

일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리한 후에 이차식인 원의 방정식에 대입하면 그 식은 이차식이에요. 이 이차식의 해의 개수가 연립방정식의 해의 개수이고, 이건 이차방정식의 판별식을 이용해서 구할 수 있어요.

  1. 일차식인 직선의 방정식을 한 문자에 관해서 정리
  2. 1의 식을 이차식인 원의 방정식에 대입. 전개
  3. 2의 식에서 판별식 D를 구한다.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 만나지 않는다.

직선을 y에 대해서 정리한 형태가 바로 직선의 방정식의 표준형이에요. 그리고 이걸 원의 방정식에 대입하여 판별식을 구하는 이차식은 일반형이고요.

원의 중심에서 직선까지의 거리 이용

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용할 수도 있어요. 원의 방정식에서 원의 중심의 좌표를 구한 다음 원의 중심과 직선 사이의 거리를 구하고 이를 원의 반지름과 비교하는 거예요.

원과 직선의 위치관계 2

원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라고 해보죠.

d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
d > r ⇔ 만나지 않는다.

원의 중심을 구하려면 원이 표준형으로 되어 있어야겠죠? 원과 직선 사이의 거리를 구할 때 직선의 방정식은 일반형이고요.

위의 내용을 표로 정리해보죠.

원과 직선의 위치관계
판별식 D 이용 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용
형태 원의 방정식: 일반형
직선의 방정식: 표준형
원의 방정식: 표준형
직선의 방정식: 일반형
방법 직선의 방정식을 한 문자에 관하여 정리한 후 원의 방정식에 대입하여 판별식 이용 원의 중심과 직선의 방정식 사이의 거리 이용
서로 다른 두 점 D > 0 d < r
한 점 D = 0 d = r
만나지 않는다. D < 0 d > r

다음 원의 방정식과 직선의 방정식이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 k의 조건을 구하여라.
(1) x2 + y2 + 4x + 8y + k - 8 = 0, x + y - 4 = 0
(2) (x - k)2 + (y + 2)2 = 5, x + 2y + 10 = 0

(1)번은 원의 방정식은 일반형, 직선의 방정식도 일반형이네요. 원의 방정식은 일반형이라면 직선의 방정식이 표준형이어야 판별식을 이용할 텐데 말이죠. 그런데 이때는 직선의 방정식을 그냥 표준형으로 바꾸면 돼요. 표준형으로 바꾸는 건 정말 쉬우니까요.

x + y - 4 = 0
y = -x + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x2 + (-x + 4)2 + 4x + 8(-x + 4) + k - 8 = 0
x2 + x2 - 8x + 16 + 4x - 8x + 32 + k - 8 = 0
2x2 - 12x + k + 40 = 0

이차식이 만들어졌는데, 이차식의 해의 개수가 두 방정식의 교점의 개수와 같아요. 서로 다른 두 실근을 가진다고 했으니 D > 0이어야겠네요.

D/4 = 62 - 2(k + 40) > 0
36 - 2k - 80 > 0
2k < -44
k < -22

(2) 원의 방정식은 표준형, 직선의 방정식은 일반형이에요. 이때는 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용해요.

원의 중심의 좌표는 (k, -2), 반지름은 예요.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이를 이용했어요.

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절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

정리해볼까요

원과 직선의 위치관계

  • 판별식 D를 이용
    1. 일차식을 한 문자에 관하여 정리
    2. 1식을 원의 방정식에 대입
    3. 2식에서 판별식 D를 구함
      • D > 0 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
      • D = 0 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
      • D < 0 ⇔ 만나지 않는다.
    1. 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용
      • 원의 중심의 좌표에서 직선까지의 거리 d와 원의 반지름 r 비교
      • d < r ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
      • d = r ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
      • d > r ⇔ 만나지 않는다.
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