원의 접선의 방정식 두 번째입니다. 기울기를 알 때에요. 기울기를 알고 있으니까 이미 직선의 방정식의 절반을 알고 있는 거예요. y = mx + n꼴에서 기울기 m을 알고 있으니 y절편 n만 구하면 되겠네요.

원과 직선이 접한다는 건 한 점에서 만난다는 것이고 이는 원과 직선의 위치관계에 했던 내용이에요. 한 점에서 만나는 조건들이 있었는데 이 조건을 이용해서 원의 접선의 방정식을 구할 거예요.

원의 접선의 방정식을 구하는 공식이 나오는데, 외우기 어렵다면 원과 직선의 위치관계를 구하는 과정을 이용해서 문제를 풀어도 좋아요.

원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때

원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때

(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선을 구해보죠.

원과 직선의 위치관계에서 원과 직선이 한 점에서 만날 때 판별식 D = 0이거나 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름)인 관계가 있다고 했어요. 이를 이용해서 접선의 방정식을 구해요.

위 그림에 보면 접선의 방정식이 2개가 그려져 있어요. 기울기는 같고 y절편만 다른 두 개의 접선의 방정식이 생기기 때문이에요. 이 두 개를 모두 구해야 합니다.

판별식 D를 이용

먼저 x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식을 구해보죠. 접선의 방정식을 y = mx + k라고 하고 이 방정식을 원의 방정식에 대입해서 정리해서 D를 구해볼까요?

x2 + y2 = r2
x2 + (mx + k)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mkx + k2 = r2
(m2 + 1)x2 + 2mkx + k2 - r2 = 0

D/4 = m2k2 - (m2 + 1)(k2 - r2) = 0
m2k2 - m2k2 + m2r2 - k2 + r2 = 0
m2r2 - k2 + r2 = 0
k2 = m2r2 + r2
k2 = r2(m2 + 1)
k = ±r

x2 + y2 = r2에 접하는 접선의 방정식은 y = mx ±r이에요.

이차함수 그래프, y = (x - p)2 + q는 y = x2의 그래프를 x축으로 p만큼 이동해서 x 대신 x - p를, y축으로 q만큼 이동해서 y 대신 y - q를 넣어 준거라고 했어요. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (p, q)로 이동했잖아요. 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2은 x2 + y2 = r2을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동한 원의 방정식이에요. 원의 중심이 (0, 0)에서 (a, b)로 이동했어요. 그래서 접선의 방정식도 x 대신 x - a, y대신 y - b를 넣어주면 돼요.

(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 제곱에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r에 x 대신 x - a, y 대신 y - b를 넣어준 y - b = m(x - a) ± r이 됩니다.

원의 중심과 접선까지의 거리 이용

x2 + y2 = r2의 중심에서 y = mx + k까지의 거리는 반지름 r과 같아요.

원의 중심 (0, 0)
y = mx + k → mx - y + k = 0

점과 직선 사이의 거리 공식에 대입해보죠.

따라서 y = mx ± r이죠.

위와 같은 이유로 x축으로 a만큼 이동하며 x 대신 x - a를, y축으로 b만큼 이동하면 y 대신 y - b를 대입해요.

x2 + y2 = r2의 접선의 방정식은 y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2의 접선의 방정식 y - b = m(x - a) ± r

기울기가 m인 원의 접선의 방정식
판별식 D를 이용: 접선의 방정식 표준형을 원의 방정식에 대입하고 D = 0이 되는 값을 구한다.
원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리 이용: (원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리) = (반지름 r) 이용
x2 + y2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y = mx ± r
(x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r

공식에서 (y - b)와 (x - a)는 원의 방정식에 있는 걸 그대로 가져다 쓰면 되니까 더 쉽죠?

다음을 구하여라.
(1) x2 + y2 = 16에 접하고 y = x - 1에 평행한 접선의 방정식
(2) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정식

(1) y = x - 1에 평행한 그래프니까 두 직선의 위치관계에 따라 기울기가 1이네요. y = x + k라고 해보죠.

x2 + (x + k)2 = 16
x2 + x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
2x2 + 2kx + k2 - 16 = 0
D/4 = k2 - 2(k2 - 16) = 0
k2 - 2k2 + 32 = 0
k2 = 32
k = ±
k = ±4

따라서 접선의 방정식은 y = x ± 4

(2)번은 공식에 대입해서 구해볼까요?

y - b = m(x - a) ± r
y + 2 = 3(x - 1) ± 5
y = 3x - 5 ± 5

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정리해볼까요

원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때

  • 판별식 D를 이용
  • 원의 중심에서 접선까지의 거리 = 반지름의 길이
  • (x - a)2 + (y - b)2 = r2에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r
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