중학교 때, 일차부등식의 풀이에서는 부등식의 해를 수직선 위에 나타냈었잖아요. 부등식의 영역은 부등식을 만족하는 점을 수직선이 아니라 좌표평면에 나타내는 거예요.

설명은 되게 복잡한 것 같지만 식을 그냥 들여다보면 금방 알 수 있을 거예요.

부등식은 등식에서 등호만 부등호로 바뀐 거잖아요. 그래서 부등식의 영역을 그릴 때 등식을 이용해서 그려요. 여기서 이용하는 등식은 이차함수, 직선의 방정식과 원의 방정식 등이에요. 따라서 이들 도형의 방정식을 좌표평면에 나타낼 줄 알아야 해요.

부등식의 영역

x에 대한 일차부등식을 만족하는 x를 수직선에 나타냈던 것처럼 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표평면에 나타내는데, 이 점 전체의 집합을 부등식의 영역이라고 합니다.

부등식 y > x, y < x의 영역

일차부등식의 영역 1

y = x 그래프와 y축에 평행한 직선, 세 점 P(x, y), Q(x1, y1), R(x2, y2)이 있어요.

점 P(x, y)는 y = x 그래프 위의 점이니까 x좌표와 y좌표가 같아요.
y = x …… ①

점 Q(x1, y1)를 한 번 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 P의 x좌표와 점 Q의 x좌표는 같아요.
x = x1 …… ②

점 Q의 y좌표인 y1은 x좌표인 x1보다 크죠?
y1 > x1 …… ③

①, ②, ③에 의해서 y1 > x1 = x = y이므로 y1 > y에요.

y축에 평행한 직선에서 y1 > y가 되는 점 Q는 엄청나게 많겠죠? 점 P보다 위에 있는 점들은 모두 이 조건을 만족하니까요.

y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 움직이면 엄청나게 많은 점 Q를 찾을 수 있고, 이런 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시되는데 이게 바로 위 그래프에서 파란색으로 표시된 부분이에요.

이번에는 점 R(x2, y2)를 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 R의 x좌표 x2는 점 P의 x좌표와 같아요.
x2 = x …… ④

점 R의 y좌표 y2는 x좌표 x2보다 작고요.
y2 < x2 …… ⑤

①, ④, ⑤에 의해서 y2 < x2 = x = y이므로 y2 < y가 돼요.

마찬가지로 y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 옮기면 엄청나게 많은 점 R을 찾을 수 있고 이 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시할 수 있어요.

y > x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 위쪽이고,
y < x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 아래쪽이에요.

부등식 y > f(x), y < f(x)의 영역

일차부등식의 영역 2

y = ax + b의 그래프에요.

같은 방법을 이용하면 y > ax + b를 만족하는 점들의 영역과 y < ax + b를 만족하는 점들의 영역을 찾을 수 있어요.

그래프에서 y = ax + b를 실선이 아닌 점선으로 표시했는데, 이건 y > ax + b, y < ax + b에 등호가 들어있지 않기 때문이에요. 일차부등식의 풀이에서 수직선 위에 부등식을 그릴 때 점을 까맣게 칠하면 ≤, ≥를 나타내고, 하얗게 그리면 <, >를 나타냈던 것과 같아요.

이차부등식의 영역

이차함수 그래프 y = ax2 + bx + c와 부등식 y > ax2 + bx + c, y < ax2 + bx + c의 영역을 나타낸 것입니다.

y > f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 윗부분
y < f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 아랫부분
부등호에 등호가 없으면 y = f(x)는 점선으로 표시

부등식의 영역 그리는 순서

  1. 기준이 되는 도형의 방정식 y = f(x)의 그래프를 그린다.
    이때, 주어진 식의 부등호에 등호가 없으면 점선, 등호가 있으면 실선
  2. 해당 영역을 색으로 칠한다.
    • y > f(x) 또는 y ≥ f(x)이면 그래프보다 위쪽 영역
    • y < f(x) 또는 y ≤ f(x)이면 그래프보다 아래쪽 영역

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정리해볼까요

부등식의 영역

  • 좌표평면에서 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표로 하는 점 전체의 집합
  • y > f(x) → y = f(x)의 윗부분
  • y < f(x) → y = f(x)의 아랫부분
  • 부등식에 등호가 없으면 y = f(x)의 그래프를 점선으로
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