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케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.

이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.

이상하게 생긴 공식이죠?

증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.

이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

2차 정사각행렬 가 A² - 4A + 3E = O를 만족할 때, 행렬 A를 구하여라.

행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

따라서 또는 이네요.

그런데 만약에 이라면 어떨까요? A를 문제에 나와 있는 식대로 계산해보죠.

은 A² - 4A + 3E = O라는 식도 만족하고 라는 기본꼴도 만족하죠. 그러니까 도 문제에서 원하는 답이 될 수 있어요.

그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.

-(3 + 3) ≠ -4
3² - 0 ≠ 3

어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.

케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.

문제를 다시 풀어보죠.

ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이

-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

또는

ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이

a² - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1

또는

총 네 개의 행렬 A를 구했네요.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.

이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.

2차 정사각행렬 에 대하여 A⁴ - 5A³ - 2A² + A를 구하여라.

일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A² - 5A - 2E = O

A⁴ - 5A³ - 2A² + A
= A²(A² - 5A - 2E) + A
= A²O + A
= O + A
= A

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

정리해볼까요

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

행렬의 곱셈에 대한 항등원

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역행렬

❮ ❯

행렬의 덧셈과 덧셈에 대한 성질에서는 행렬의 덧셈에 대한 항등원인 영행렬 O를 알아봤죠? 행렬의 곱셈과 곱셈에 대한 성질을 알아봤으니 이번에는 행렬의 곱셈에 대한 항등원을 알아볼 차례에요.

이 글에서는 행렬의 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬의 뜻과 어떤 경우에 단위행렬인 E를 정의할 수 있는지 그리고 단위행렬의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

행렬의 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬과 수와 식에서의 곱셈에 대한 항등원인 숫자 1을 비교해보는 것도 재미있을 거예요.

단위행렬

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선 방향(↘)의 성분이 1이고 다른 성분은 모두 0인 n차 정사각형렬을 n차 단위행렬이라고 하고 기호로 E로 나타내요.

왼쪽부터 차례로 1차 단위행렬, 2차 단위행렬, 3차 단위행렬이에요.

, 일 때, AE와 EA를 구해보죠.

AE = EA = A

AE = EA라는 얘기는 교환법칙이 성립한다는 뜻이에요. 행렬의 곱셈에 대한 성질에서 일반적인 행렬은 교환법칙이 성립하지 않는다고 했어요. 하지만 이 단위행렬 E는 교환법칙이 성립해요.

AE = EA = A라는 얘기는 곱셈을 한 결과가 다시 A라는 말로 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원이라는 걸 알 수 있어요.

주의해야 할 건 교환법칙이 성립하려면 A가 n차 정사각행렬이어야 한다는 거예요.

만약 A가 3 × 2 행렬이고 E가 2차 정사각형렬이면 AE는 곱셈을 할 수 있지만, EA는 곱할 수가 없죠? 그러면 교환법칙이 성립하지 않아요.

만약 A가 3 × 2 행렬이고 E가 3차 정사각형렬이라고 하더라도 AE는 곱셈을 할 수 없고, EA만 곱할 수 있어요. 역시 교환법칙이 성립하지 않죠.

A가 n차 정사각형렬이고 E가 n차 단위행렬일 때만 교환법칙이 성립하고 곱셈에 대한 항등원이 될 수 있어요.

수에서 곱셈에 대한 항등원인 1은 거듭제곱을 해도 그냥 계속 1이죠? 행렬의 곱셈에 대한 항등원인 E는 어떻게 되는 알아보죠.

단위행렬 E도 거듭제곱해도 그냥 계속 E가 되는 걸 알 수 있어요. E와 곱셈에 대한 항등원 E를 곱하는 거니까 당연히 자기 자신인 E가 나와야겠죠?

단위행렬
왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 대각선 방향(↘)의 성분이 1이고 다른 성분은 모두 0인 n차 정사각형렬
교환법칙: n차 정사각형렬 A와 n차 단위행렬 E일 때, AE = EA
곱셈에 대한 항등원: AE = EA = A
E = E² = E³ …

, 일 때, A² + 2A + E를 구하여라.

단위행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원이에요. AE = EA = A죠. 교환법칙이 성립하면 다항식의 곱셈공식을 그대로 사용할 수 있어요. 그리고 E = E²이에요.

A² + 2A + E
= A² + A + A + E²
= A² + AE + EA + E²
= (A + E)²

정리해볼까요

단위행렬

교환법칙: n차 정사각형렬 A와 n차 단위행렬 E일 때, AE = EA
곱셈에 대한 항등원: AE = EA = A
E = E² = E³ …

행렬의 곱셈에 대한 성질

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케일리-해밀턴 정리

❮ ❯

행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.

그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.

세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.

계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.

결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.

분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.

k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교

곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

곱셈공식에서 (a + b)² = a² + 2ab + b²가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²이에요. AB ≠ BA이므로 A² + 2AB + B²이 될 수 없어요.

또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.

일 때를 보죠.

AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?

또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.

일 때를 보죠.

A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.

일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.

위 내용을 표로 정리해보죠.

행렬과 수, 다항식의 곱셈에 대한 성질 비교
		행렬	수, 다항식
같은 점	결합법칙	(AB)C = A(BC)	(ab)c = a(bc)
	분배법칙	A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC	a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc
	실수의 곱	k(AB) = (kA)B = A(kB)	k(ab) = (ka)b = a(kb)
다른 점	교환법칙	AB ≠ BA	ab = ba
		AB = O이어도 A = O or B = O이 성립하지 않음.	ab = 0이면 a = 0 or b = 0
		A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음.	a ≠ 0일 때, ab = ac이면 b = c

정리해볼까요

행렬의 곱셈에 대한 성질

교환법칙 성립안함.: AB ≠ BA
결합법칙 성립: (AB)C = A(BC)
분배법칙 성립: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
실수의 곱: (kA)B = k(AB) = A(kB)
AB = O일 때, A = O or B = O이 성립하지 않음.
A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음.

행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱

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단위행렬

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행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

행렬의 곱셈

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

행렬의 곱셈 2

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

숫자와 문자의 거듭제곱처럼 행렬 A를 여러 번 곱하는 걸 행렬의 거듭제곱이라고 해요. 행렬의 거듭제곱도 지수를 이용해서 표현하지요.

2 × 2 = 2²
a × a = a²
A × A = A²

여기서 한 가지 알아둘 게 있어요.

A² = A × A에서 × 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 × 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱셈을 할 수 있어요. 여기서는 같은 행렬을 곱하므로 결국 이 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 정사각행렬이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 행렬의 거듭제곱은 정사각행렬에서만 정의할 수 있다는 얘기예요.

행렬의 거듭제곱
정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

일 때, 행렬의 곱셈을 할 수 있는 것과 없는 것을 나누고 행렬의 곱셈을 할 수 있으면 곱한 결과를 구하여라.
(1) A × B
(2) B × A
(3) A²
(4) B²

(1) A는 2 × 2 행렬, B는 2 × 3 행렬로 곱한 결과는 2 × 3 행렬이 되겠네요.

(2) B는 2 × 3 행렬, A는 2 × 2 행렬로 (앞에 있는 행렬의 열의 개수 3) ≠ (뒤에 있는 행렬의 행의 개수 2)로 행렬의 곱셈을 할 수 없어요.

(3) A는 2 × 2의 정사각행렬이므로 거듭제곱을 할 수 있어요.

(4) B는 2 × 3 행렬로 정사각행렬이 아니므로 거듭제곱을 할 수 없어요.

정리해볼까요

행렬의 곱셈

(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질

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행렬의 곱셈에 대한 성질

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행렬의 실수배는 이름 그대로 행렬에 실수를 곱한 거예요. 그냥 곱하기라서 굉장히 쉬워요. 이제까지 해왔던 다항식과 숫자의 곱과 아주 많이 비슷하니까 특별히 더 공부할 것도 없어요.

행렬의 실수배에 대한 성질에 대해서도 알아볼 거예요. 성질이라고 해서 외울 필요는 없고 그냥 계산하다 보면 자연스럽게 익히게 될 거예요.

행렬의 실수배는 그냥 숫자와 행렬을 곱하는 거라서 앞으로 공부할 행렬끼리 곱하는 것과 차이가 있으니 잘 구별하세요.

행렬의 실수배

행렬 A의 각 성분에 실수 k를 곱한 것을 각 성분으로 하는 행렬을 행렬 A의 k배라고 하고 기호로 kA로 나타내요. kA 사이에는 곱셈기호가 생략되어 있고요.

이고 k가 실수일 때

행렬을 다항식이라고 생각하면 행렬 앞의 괄호를 그냥 다항식에서의 괄호라고 여기고 괄호 앞에 실수 k가 있다고 할 수 있어요. 그리고 마치 분배법칙처럼 괄호 앞의 k를 괄호 안의 모든 성분에 곱해주는 거죠.

행렬의 실수배

행렬의 실수배에 대한 성질

행렬의 실수배는 다음과 같은 성질을 가져요.

행렬 A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때
1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
k(lA) = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

첫 번째는 1과 (-1)을 곱하는 거네요.

두 번째는 행렬 A의 모든 성분에 0을 곱하니까 모든 성분이 0이 되어 영행렬 O가 되는 거고요. 영행렬의 모든 성분은 0이니까 어떤 실수를 곱해도 그대로 0이라서 그 결과도 영행렬이 되지요.

세 번째는 실수의 결합법칙이 그대로 적용된다는 뜻이에요.

네 번째, 다섯 번째만 증명해볼까요? 이라고 해보죠.

∴ (k + l)A = kA + lA

∴ k(A + B) = kA + kB

일 때 다음을 구하여라.
(1) 2(A + B) - B
(2) 2(A - 2B) + 3(2A + B)

주어진 식을 먼저 간단히 한 후에 행렬을 대입해야 해요.

(1)

(2)

정리해볼까요

행렬의 실수배: 이고 k가 실수일 때

행렬의 실수배에 대한 성질: A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때

1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
(k)lA = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

영행렬, 행렬의 항등원과 역원

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행렬의 곱셈

❮ ❯

실수에서 항등원과 역원이 있었죠? 항등원은 계산한 결과가 자기 자신이 나오게 하는 걸 말하고 역원은 계산한 결과가 항등원이 나오는 걸 말해요. 행렬에도 항등원과 역원이 있는데 이글에서는 덧셈에 대한 항등원과 역원을 알아보죠.

그리고 영행렬이라는 용어도 공부할 건데 영행렬이 무엇인지 어떤 특징을 가졌는지도 이해해두세요.

참고로 실수에서도 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 없었듯이 행렬에서도 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 다루지 않아요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원

행렬에서 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라고 하고 알파벳 O로 나타내요.

일 때

A + O = A에요.

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립해요.

A + O = O + A = A

즉 영행렬 O는 행렬 A의 덧셈에 대한 항등원이 되는 걸 알 수 있어요. 영행렬은 숫자 0이 모인 거니까 실제로도 숫자에서 0의 역할과 비슷하죠.

행렬 에서 모든 성분의 부호를 (-)로 바꾼 을 -A라고 해요. 두 행렬을 더해보죠.

A + (-A) = O인데, 행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립하므로

A + (-A) = (-A) + A = O

즉 행렬 -A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원이 되는 걸 알 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원
행렬 A와 행렬 O가 같은 꼴일 때
A + O = O + A = A → O는 덧셈에 대한 항등원
A + (-A) = (-A) + A = O → -A는 A의 덧셈에 대한 역원

행렬 에 대하여 A + X = O를 만족할 때 행렬 X를 구하여라.

두 행렬을 더했는데 영행렬 O가 나왔다는 말은 두 행렬이 서로 덧셈에 대한 역원이라는 말이죠? 덧셈에 대한 역원은 행렬의 성분의 부호만 반대로 바꿔주면 돼요.

X = -A

정리해볼까요

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원

영행렬: 행렬의 성분이 모두 0인 행렬. O
O는 덧셈에 대한 항등원: A + O = O + A = A
→ -A =
-A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원: A + (-A) = (-A) + A = O

행렬의 덧셈과 뺄셈, 덧셈에 대한 성질

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행렬의 실수배

❮ ❯

행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 기본적으로 행렬은 숫자와 문자를 모아놓은 거예요. 따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈도 실수의 덧셈과 뺄셈의 속성을 따릅니다.

물론 행렬 자체가 가지는 특징도 있으니 완전히 같지는 않죠. 어떤 부분에서 실수의 덧셈과 뺄셈과 같은지 어떤 부분이 다른지 알아보죠.

실수의 덧셈에서 성립했던 두 가지 법칙이 있었어요. 교환법칙과 결합법칙이죠. 이 두 법칙이 행렬의 덧셈에서도 성립하는지 알아보죠.

행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 그런데 한 가지 조건이 있어요. 바로 같은 꼴의 행렬일 때만 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 두 행렬 A, B가 있을 때 A가 3 × 2이라면 B도 3 × 2 행렬이어야 두 행렬을 더할 수 있는 거죠.

서로 같은 꼴이 아니면 덧셈과 뺄셈을 할 수 없어요.

덧셈은 +, 뺄셈은 기호 -를 사용하는데 행렬의 덧셈과 뺄셈에서도 같아요. 두 행렬 A, B를 더하는 건 A + B, 두 행렬을 빼는 건 A - B라고 써요.

행렬의 덧셈과 뺄셈을 한 결과도 행렬이에요.

두 행렬을 더할 때는 서로 같은 성분끼리 더해요. 행렬 A의 (1, 2) 성분과 행렬 B의 (1, 2) 성분을 더한 결과가 A + B 행렬의 (1, 2) 성분이 되는 거예요. 뺄셈도 마찬가지고요.

행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬 A, B가 서로 같은 꼴일 때
서로 같은 위치에 있는 성분끼리 +, -
일 때

두 행렬 에 대하여 A + X = B가 성립할 때 행렬 X를 구하여라.

일단 덧셈을 했으니까 행렬 X는 2 × 2행렬이에요. 각 성분을 모르니까 a, b, c, d라고 해보죠.

3 + a = 5 → a = 2
-1 + b = 6 → b = 7
4 + c = 10 → c = 6
2 + d = 3 → d = 1

행렬

참고로 행렬에서도 이항이 성립해요.

A + X = B
X = B - A

위 방법을 이용해서 X를 구할 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 성질

실수에서 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립하죠? 행렬의 덧셈에서도 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 실수에서와 마찬가지로 행렬의 뺄셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않고요.

행렬의 덧셈에 대한 성질
행렬 A, B, C가 같은 꼴일 때
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)

2 × 2 행렬 A, B에 대하여 A + B = B + A임을 보여라.

행렬 A, B를 아래와 같다고 해보죠.

풀이 중에 있는 덧셈에 대한 교환법칙은 행렬에서의 교환법칙이아니라 성분을 이루고 있는 실수에서의 교환법칙이에요.

결합법칙이 성립하는지는 직접 한 번 해보세요.

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행렬의 성분, 두 행렬이 서로 같을 조건
행렬, 행렬의 뜻, 정사각행렬

정리해볼까요

행렬의 덧셈과 뺄셈

두 행렬 A, B가 서로 같은 꼴일 때
서로 같은 위치에 있는 성분끼리 +, -
일 때

행렬의 덧셈에 대한 성질: 행렬 A, B, C가 같은 꼴일 때

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)

두 행렬이 서로 같을 조건

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영핼렬, 행열의 덧셈에 대한 항등원과 역원

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행렬의 뜻에 대해서 알아봤는데 이제는 조금 더 자세히 공부해보죠.

숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 양쪽을 괄호로 묶어서 나타낸 것을 행렬이라고 하고 행렬을 이루는 숫자나 문자를 행렬의 성분이라고 해요. 이 글에서는 행렬의 성분을 여러 가지 방법으로 나타나는 법을 알아볼 거예요.

두 개의 행렬이 있을 때 두 행렬이 서로 같을 조건은 어떤 것인지 알아보죠. 두 행렬이 서로 같을 조건을 이용해서 문제도 풀어볼 거예요. 어떤 조건을 만족할 때 두 행렬이 서로 같을 수 있는지 기억해 두세요.

행렬의 성분

집합에서 집합은 알파벳 대문자로 나타내고, 원소는 알파벳 소문자로 나타내죠? 이처럼 행렬도 알파벳 대문자 A, B, C, … 를 써서 나타내고 행렬의 성분은 알파벳 소문자 a, b, c, … 를 이용해서 나타내요.

행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 곳의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라고 하고 기호로는 a_ij라고 써요. 읽을 때는 알파벳 그대로 a i j (에이 아이 제이)로 읽고요.

제1행 제2열의 성분은 a₁₂, 제3행 제5열의 성분은 a₃₅로 쓰지요.

행렬의 성분

때로 행렬을 A = (a_ij)로 나타내기도 해요. 이때는 i와 j에 해당하는 값을 함께 적어줍니다.

A = (a_ij) (i = 1, 2, 3, j = 1, 2)

i = 1, 2, 3은 i가 1, 2, 3이 될 수 있다는 말로 행렬 A가 제3행까지 있다는 뜻이에요. j = 1, 2는 j가 1, 2가 될 수 있다는 얘기로 행렬 A가 제2열까지 있다는 뜻이고요. 즉 3 × 2 행렬이라는 얘기죠.

3 × 2 행렬 A의 (i, j) 성분 a_ij = i +2j - 3일 때 행렬 A를 구하여라

3 × 2 행렬이니까 i = 1, 2, 3, j = 1, 2에요. 대입해보죠.

(1, 1) 성분 a₁₁ = 1 + 2 × 1 - 3 = 0
(1, 2) 성분 a₁₂ = 1 + 2 × 2 - 3 = 2
(2, 1) 성분 a₂₁ = 2 + 2 × 1 - 3 = 1
(2, 2) 성분 a₂₂ = 2 + 2 × 2 - 3 = 3
(3, 1) 성분 a₃₁ = 3 + 2 × 1 - 3 = 2
(3, 2) 성분 a₃₂ = 3 + 2 × 2 - 3 = 4