역행렬과 연립일차방정식

지금까지 가감법, 대입법, 두 직선의 위치관계 등 여러 가지 방법을 이용해서 연립일차방정식의 해를 구해 봤어요. 이 글에서는 연립일차방정식의 해를 구하는 새로운 방법으로 역행렬을 이용하는 방법을 알아볼 거예요.

역행렬을 이용해서 연립일차방정식의 해가 몇 개인지 알아보고 해를 구할 수 있다면 해를 구하는 것까지 해볼 거예요. 해를 구할 수 없다면 왜 그런지 어떤 특징 때문에 해를 구할 수 없는지도 알아볼 거예요 .

역행렬, 연립방정식, 직선의 위치관계 등 여러 내용이 섞여서 나오니까 주의해서 잘 보세요.

연립방정식 을 행렬로 나타낼 수 있어요.

좌변의 행렬을 곱셈해보면 연립방정식이 나오는 걸 확인할 수 있죠.

행렬이니까 역행렬을 이용해서 x, y를 구할 수 있겠죠? 물론 역행렬이 존재한다면 말이죠.

ⅰ) ad - bc ≠ 0일 때(역행렬이 존재할 때)

위 행렬을 계산해보면, x, y의 값을 구할 수 있겠죠? 따라서 연립방정식 는 ad - bc ≠ 0일 때 한 쌍의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

ⅱ) ad - bc = 0일 때(역행렬이 존재하지 않을 때)

역행렬이 없으면 위와 같은 방법으로 해를 구할 수 없어요.

ad - bc = 0
ad = bc

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?

(x의 계수비) = (y의 계수비) = (상수항의 비) → 해가 무수히 많다
(x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비) → 해가 하나도 없다.

에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비)이니까 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우예요. p와 q의 비를 적용해보면 정확히 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해보죠. 연립방정식 에서 ax + by = p와 cx + dy = q는 직선의 방정식이에요. 두 직선의 방정식의 교점은 연립방정식의 해잖아요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 교점의 개수를 이용해서 연립일차방정식의 해를 구했어요.

기울기가 같고, y절편이 같다 → 두 직선은 일치 → 연립일차방정식의 해는 무수히 많다.
기울기가 같고, y절편이 다르다 → 두 직선은 평행 → 연립일차방정식의 해는 없다.

는 기울기가 같다는 뜻이고, y절편인 p, q의 값을 비교해보면 더 정확히 알 수 있겠죠.

정리해보면 연립일차방정식을 행렬로 나타냈을 때, 역행렬이 존재하면 한 쌍의 해를 갖고, 역행렬이 존재하지 않으면 해가 무수히 많거나 하나도 없을 수 있다는 거예요.

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

역행렬을 이용하여 연립방정식 의 해를 구하여라.

연립방정식을 행렬로 나타내보죠.

D = ad - bc = 5 × 3 - (-1) × 4 = 15 + 4 = 19 ≠ 0이므로 역행렬을 가져요. 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

x = 2, y = 2네요.

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