연립방정식을 행렬로 나타내고 역행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구해봤어요. 이제는 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 때 해가 한 개일 수도 있고 하나도 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있어요. 어떤 조건이 있을 때 해의 개수가 달라지는지 알아보죠.

연립방정식의 식을 하나씩 따로 떼 보면 직선의 방정식이기도 하니까 직선의 방정식과 두 직선의 방정식의 위치관계를 통해서 이를 설명해 볼게요. 혹시 기억이 나지 않는다면 아래 두 글을 먼저 읽어보세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직두 직선의 위치관계 - 일반형

연립일차방정식이 해를 가질 조건

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

일단 행렬식 D = ad - bc ≠ 0이면 해를 가져요. 역행렬을 이용해서 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

ad - bc = 0일 때는 해가 무수히 많거나 하나도 없다고 했어요. 해가 무수히 많을 때는 해가 있는 거죠. 그러면 무수히 많은 해를 가지려면 ad - bc = 0외에 어떤 추가 조건이 있어야 할까요?

두 직선의 위치관계 - 일반형에서 두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선의 교점은 두 직선이 나타내는 직선의 방정식의 공통근이니까 두 직선이 일치하면 두 직선의 방정식은 무수히 많은 해를 가지죠.

연립방정식 는 ax + by = p, cx + dy = q라는 두 직선의 방정식으로 나타낼 수 있으니까 여기에 위 내용을 그대로 적용해보죠.

에서 이면 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

이번에는 p = q = 0인 을 보죠. 직선의 방정식으로 나타내면 ax + by = 0, cx + dy = 0이에요. 이 두 직선은 원점을 지나는 직선이에요. 따라서 x = y = 0이라는 공통근을 일단 무조건 한 개를 가져요.

행렬로 나타내면 이에요.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 을 해로 가져요. x = y = 0인 한 쌍의 해죠.

ad - bc = 0이고 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 무수히 많을 해를 가지고 x, y 계수비와 상수항의 비가 다르면 해가 하나도 없어요. 그런데 상수항의 비를 구하려고 했더니 분모가 0이 돼버리죠? 이 방법으로는 해가 무수히 많은지 하나도 없는지 알 수가 없다는 뜻이에요. 다른 방법을 찾아봐야겠네요.

ad - bc = 0
ad = bc

두 직선의 방정식의 기울기가 같아요. 그리고 두 직선은 모두 원점을 지나요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 기울기가 같고 y절편이 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선이 일치하니까 두 직선의 방정식의 공통근도 무수히 많아지겠죠?

일반적으로 ad - bc = 0일 때 해가 하나도 없을 수도 있어요. 하지만 위에서 본 것처럼 이 두 직선은 원점을 지나므로 무조건 x = y = 0이라는 해를 가져요. 따라서 해가 하나도 없는 경우는 생길 수가 없는 거예요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

가 x = y = 0 이외의 해를 가질 때 상수 k의 값을 구하여라.

우변이 모두 0이에요. 이런 연립방정식은 x = y = 0이라는 한 쌍의 해는 무조건 갖지요. 그리고 ad - bc = 0이면 x = y = 0 이외의 해를 가지는데 이 해는 무수히 많아요.

k(k - 2) - 3 = 0
k2 - 2k - 3 =
(k - 3)(k + 1)
k = -1 or 3

k = -1 or 3이면 이 연립방정식은 x = y = 0이외의 해를 가져요.

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정리해볼까요

연립방정식이 해를 가질 조건

  • 연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
  • ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
  • ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해
  • 연립방정식이 해를 가질 조건

  • 연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
  • ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
    ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해
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