역행렬은 행렬에서 곱셈에 대한 역원의 역할을 해요. 이 글에서는 역행렬의 성질에 대해서 알아볼 거예요.
공식이 몇 가지 나오는데 개수가 많고 식으로 쓰다 보니 길어져서 그렇지 유도과정 자체는 어렵지 않아요. 행렬과 역행렬의 관계를 이용해서 공식을 유도해요.
그리고 역행렬의 성질 공식이 우리가 알고 있던 지수법칙이나 다른 공식과 모양은 비슷하지만 적용하는 방법이 다르니까 헷갈리지 않게 잘 외워두세요.
역행렬의 성질
행렬 A의 역행렬을 A-1이라고 해보죠.
행렬과 역행렬을 곱하면 단위행렬 E가 돼요. AA-1 = A-1A = E
여기서 A-1의 역행렬은 뭔가요? A-1와 A를 곱하면 단위행렬 E가 되니까 A-1의 역행렬은 A에요. (A-1)-1 = A
두 정사각행렬 A, B에 대하여 A-1, B-1가 존재할 때 행렬 AB의 역행렬 X를 구해보죠.
(AB)X = E
A-1(AB)X = A-1E (∵ 양변의 왼쪽에 A-1를 곱)
(A-1A)BX = A-1 (∵ 결합법칙)
EBX = A-1 (∵ AA-1 = E)
BX = A-1 (∵ EB = B)
B-1BX = B-1A-1 (∵ 양변의 왼쪽에 B-1를 곱)
EX = B-1A-1 (∵ B-1B = E)
X = B-1A-1 (∵ EX = X)
역행렬에는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지만, 일반적인 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 교환법칙이 성립하지 않아요. 그래서 행렬을 곱할 때 원래 있는 식의 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지가 중요해요. 위 유도에서는 원래 식의 왼쪽에 곱했어요.
(AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = E
(AB)-1 = B-1A-1
AB의 역행렬을 구했더니 A-1B-1가 아니라 B-1A-1이에요. 우변을 보면 괄호를 풀 때 행렬의 순서가 바뀌었어요. 헷갈리면 안 돼요. A, B, C 세 개일 때도 똑같아요. (ABC)-1 = C-1B-1A-1
A = A-1일 때를 보죠.
A = A-1
AA = A-1A (∵ 양변의 오른쪽에 A를 곱)
A2 = E (∵ A-1A = E)
k가 0이 아닌 실수일 때, (kA)-1를 구해볼까요? 만약에 k가 행렬이었다면 (kA)-1 = A-1k-1이었을 거예요. 하지만 k는 실수니까 그냥 원래 우리가 알고 있던 대로 풀면 돼요.
(kA-1) = k-1A-1 = 
행렬의 거듭제곱의 역행렬은 어떻게 구할까요?
우리가 알고 있는 지수법칙을 적용하면 (A2)-1 = A-2가 될 것 같죠? 그런데 그게 아니에요. 역행렬을 나타내는 -1은 일반적인 다른 지수와 하나로 합쳐지지 않아요.
(A2)-1 = (AA)-1 = A-1A-1 = (A-1)2
(A3)-1 = (AAA)-1 = A-1A-1A-1 = (A-1)3
(An)-1 = (AAA…AAA)-1 = A-1A-1…A-1 = (A-1)n
역행렬의 성질
AA-1 = A-1A = E
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1, (ABC)-1 = C-1B-1A-1
A = A-1 이면 A2 = E
(kA)-1 = k-1A-1 =
(An)-1 = (A-1)n
(1) (A-1B)-1(B-1A)-1
(2) AX = B를 만족하는 X
(1) (A-1B)-1(B-1A)-1
= B-1(A-1)-1A-1(B-1)-1 (∵ (AB)-1 = B-1A-1)
= B-1AA-1B (∵ (A-1)-1 = A)
= B-1EB (∵ AA-1 = E)
= B-1B (∵ B-1E = B-1)
= E
(2) AX = B
A-1AX = A-1B (∵ 양변의 왼쪽에 A-1를 곱)
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