행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.
그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.
행렬의 곱셈에 대한 성질
행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.
세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.
계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.
결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.
분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.
k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.
행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교
곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.
곱셈공식에서 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2이에요. AB ≠ BA이므로 A2 + 2AB + B2이 될 수 없어요.
또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.
AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?
또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.
A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.
일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.
위 내용을 표로 정리해보죠.
| 행렬 | 수, 다항식 | ||
|---|---|---|---|
| 같은 점 | 결합법칙 | (AB)C = A(BC) | (ab)c = a(bc) |
| 분배법칙 | A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC |
a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc | |
| 실수의 곱 | k(AB) = (kA)B = A(kB) | k(ab) = (ka)b = a(kb) | |
| 다른 점 | 교환법칙 | AB ≠ BA | ab = ba |
AB = O이어도 A = O or B = O이 성립하지 않음. |
ab = 0이면 a = 0 or b = 0 | ||
A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음. |
a ≠ 0일 때, ab = ac이면 b = c | ||
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