행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱

행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

행렬의 곱셈

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

행렬의 곱셈 2

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

숫자와 문자의 거듭제곱처럼 행렬 A를 여러 번 곱하는 걸 행렬의 거듭제곱이라고 해요. 행렬의 거듭제곱도 지수를 이용해서 표현하지요.

2 × 2 = 2²
a × a = a²
A × A = A²

여기서 한 가지 알아둘 게 있어요.

A² = A × A에서 × 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 × 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱셈을 할 수 있어요. 여기서는 같은 행렬을 곱하므로 결국 이 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 정사각행렬이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 행렬의 거듭제곱은 정사각행렬에서만 정의할 수 있다는 얘기예요.

행렬의 거듭제곱
정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

일 때, 행렬의 곱셈을 할 수 있는 것과 없는 것을 나누고 행렬의 곱셈을 할 수 있으면 곱한 결과를 구하여라.
(1) A × B
(2) B × A
(3) A²
(4) B²

(1) A는 2 × 2 행렬, B는 2 × 3 행렬로 곱한 결과는 2 × 3 행렬이 되겠네요.

(2) B는 2 × 3 행렬, A는 2 × 2 행렬로 (앞에 있는 행렬의 열의 개수 3) ≠ (뒤에 있는 행렬의 행의 개수 2)로 행렬의 곱셈을 할 수 없어요.

(3) A는 2 × 2의 정사각행렬이므로 거듭제곱을 할 수 있어요.

(4) B는 2 × 3 행렬로 정사각행렬이 아니므로 거듭제곱을 할 수 없어요.

행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱

행렬의 곱셈

행렬의 거듭제곱

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글쓴이 수학방

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