케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.

이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.

이상하게 생긴 공식이죠?

증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.

이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

2차 정사각행렬 가 A2 - 4A + 3E = O를 만족할 때, 행렬 A를 구하여라.

행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a2 - b2  = 3 → b = ±1

따라서 또는 이네요.

그런데 만약에 이라면 어떨까요? A를 문제에 나와 있는 식대로 계산해보죠.

은 A2 - 4A + 3E = O라는 식도 만족하고 라는 기본꼴도 만족하죠. 그러니까 도 문제에서 원하는 답이 될 수 있어요.

그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.

-(3 + 3) ≠ -4
32 - 0 ≠ 3

어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.

케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.

문제를 다시 풀어보죠.

ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이

-(a + a) = -4 → a = 2
a2 - b2  = 3 → b = ±1

또는

ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이

a2 - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1

또는

총 네 개의 행렬 A를 구했네요.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.

이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.

2차 정사각행렬 에 대하여 A4 - 5A3 - 2A2 + A를 구하여라.

일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A2 - 5A - 2E = O

A4 - 5A3 - 2A2 + A
= A2(A2 - 5A - 2E) + A
= A2O + A
= O + A
= A

2차 정사각행렬 에 대하여 A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

함께 보면 좋은 글

행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱
행렬의 곱셈에 대한 성질
단위행렬, 행렬의 곱셈에 대한 항등원
행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질
영행렬, 행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원
행렬의 덧셈과 뺄셈, 행렬의 덧셈에 대한 성질

정리해볼까요

케일리-해밀턴 정리

  • 2차 정사각행렬 에 대하여 A2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
  • 이 정리의 역은 성립하지 않는다.
  • A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)
<<    수학 1 수학 목차    >>