케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.
이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.
케일리-해밀턴 정리
2차 정사각행렬 
이상하게 생긴 공식이죠?
증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.
이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.
2차 정사각행렬 
행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a2 - b2 = 3 → b = ±1
따라서 
그런데 만약에 
그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.
-(3 + 3) ≠ -4
32 - 0 ≠ 3
어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.
케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.
케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.
케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.
문제를 다시 풀어보죠.
ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이
-(a + a) = -4 → a = 2
a2 - b2 = 3 → b = ±1
또는
ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이
a2 - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1
총 네 개의 행렬 A를 구했네요.
이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.
이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.
2차 정사각행렬 
일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A2 - 5A - 2E = O
A4 - 5A3 - 2A2 + A
= A2(A2 - 5A - 2E) + A
= A2O + A
= O + A
= A
2차 정사각행렬
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)
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