행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.
또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.
역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.
역행렬
숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a-1이에요.
수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.
역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.
참고로 숫자에서 a-1 = 
일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA-1= A-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?
행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A-1가 3 × 2 행렬이라면 AA-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA-1와 A-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.
역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A-1
역행렬 구하는 공식
ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④
① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0
(bc - ad)u = c … ⑤
① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0
(ad - bc)x = d … ⑥
② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a
(bc - ad)v = -a … ⑦
② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b
(ad - bc)y = -b … ⑧
ⅰ) ad - bc = 0일 때
ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.
그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.
ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때
⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.
⑤ →
⑥ →
⑦ →
⑧ →
x, y, u, v를 A-1에 대입하면 
A-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.
역행렬 공식
이차정사각형렬 
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.
공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.
ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.
다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.
역행렬이 존재하는지 아닌지는 행렬식 D를 보면 알 수 있어요.
(1) D = ad - bc = 1 × 4 - 2 × 3 = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재하네요.
(2) D = ad - bc = 2 × 6 - 3 × 4 = 0으로 역행렬이 존재하지 않아요.
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