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등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
  공차 d = n의 계수
  a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.

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수열이 뭔지 알았으니까 이제 수열의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

첫 번째로 공부할 수열은 등차수열이에요. 등차수열에서는 공차라는 용어를 사용하는데 공차가 무엇을 의미하는지를 알고 공차를 구할 수만 있으면 등차수열 전부를 이해했다고 할 수 있어요. 그런데 공차를 구하는 건 매우 쉬워요.

수열에는 일반항이라는 게 있어요. 공차를 이용해서 등차수열의 일반항을 구하는 방법도 알아볼 거예요.

등차수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 늘어놓은 수열이죠? 어떤 규칙이 있을까요? 제1항은 1이고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 1이 더 크죠?

2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 늘어놓은 수열인데 제1항은 2고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 2가 커요.

이처럼 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열을 등차수열이라고 하고 더해지는 일정한 수를 공차라고 해요.

2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 = 제1항 + 2 = 4
제3항 = 제2항 + 2 = 6
제4항 = 제3항 + 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 더해서 새로운 항을 얻었으니까 공차는 2예요.

등차수열에서 등차(等差)는 차이가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 차이, 제2항과 제3항의 차이, …, 제(n - 1)항과 제n항의 차이, …가 같아요. 이 차이가 바로 공차예요.

다시 2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 - 제1항 = 4 - 2 = 2
제3항 - 제2항 = 6 - 4 = 2
제4항 - 제3항 = 8 - 6 = 2

각 항과 바로 앞의 항의 차이가 모두 2로 같아요. 그러니까 공차가 2인 거죠.

등차수열은 Arithmetic Progression을 줄여서 A.P라고 하고 공차(Common Difference)는 d라고 나타내요.

등차수열: 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공차(d): 각 항에 더해지는 일정한 수
a_n = a_{n - 1} + d
d = a_n - a_{n - 1}

등차수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. d는 공차고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d
a_n = a_n-1 + d = {a₁ + (n - 2)d} + d = a₁ + (n - 1)d

마지막 줄을 보면 등차수열의 일반항 a_n = a₁ + (n - 1)d라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항
a_n = a + (n - 1)d      (단, n은 자연수)

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, d = -2
(2) a₂ = -10, a₆ = 10
(3) 3, 9, 15, 21, 27, …

제1항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요.

(1) 제1항과 공차를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 20 + (n - 1) × (-2) = -2n + 22

(2)번은 공차를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 여섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공차를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a₂ = a + (2 - 1)d = -10
a + d = -10

a_n = a + (n - 1)d
a₆ = a + (6 - 1)d = 10
a + 5d = 10

두 식을 연립해서 풀면 a = -15, d = 5가 나와요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = -15 + (n - 1) × 5
a_n = 5n - 20

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공차는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼주면 구할 수 있어요.

d = a₂ - a₁ = 9 - 3 = 6

제1항이 3, 공차가 6이네요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 3 + (n - 1) × 6
a_n = 6n - 3

등차수열 4, 7, 10, 13, …에서 처음으로 100보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라.

먼저 일반항을 구해야 겠네요.

d = a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3

a_n = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

a_n = 3n + 1 > 100
3n > 99
n > 33

n은 자연수니까 33보다 큰 34일 때 100보다 크네요. 따라서 답은 34항입니다.

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수열은 지금까지 한 번도 본 적이 없는 새로운 단원이에요. 따라서 처음 보는 용어들이 많이 나와요. 용어의 뜻과 그 의미를 제대로 이해하고 넘어가야 해요.

좋은 점이라면 다른 단원에 대해서 이해가 부족해도 새롭게 시작할 수 있다는 거지요. 방정식을 몰라도 함수를 몰라도 수열을 공부하는 데는 전혀 지장이 없어요.

이번 글에서는 수열에서 사용하는 기본적인 용어인 항, 일반항의 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 앞으로 수열 단원에서 계속 사용할 용어니까 머리 속에 팍팍 집어넣으세요.

수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 그냥 쭉 써놓은 거죠. 1, 3, 5, 7, 9, …는 홀수, 2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 그냥 쭉 써놓은 거예요.

이처럼 어떤 규칙에 따라서 숫자들을 늘어놓은 걸 수열이라고 해요.

1, 4, 7, 10, 13, …은 앞의 숫자보다 3이 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이고, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …는 앞의 숫자보다 2배 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이죠.

수열을 이루고 있는 숫자들 하나하나를 항이라고 해요. 그리고 제일 앞에 있는 항을 제1항(첫째항), 두 번째에 있는 항을 제2항(둘째항), 세 번째 있는 항을 제3항(세째항), n번째 있는 항을 제n항(n번째 항)이라고 해요. 여기서 n은 항이 있는 자릿수로 자연수예요.

제1항을 기호로 a₁이라고 하고, 제2항은 a₂, 제3항은 a₃, 제n항은 a_n로 표시해요.

a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n, …

1, 3, 5, 7, 9, …를 보죠.

첫 번째에 있는 항 = 제1항 = a₁ = 1
두 번째에 있는 항 = 제2항 = a₂ = 3
세 번째에 있는 항 = 제3항 = a₃ = 5
네 번째에 있는 항 = 제4항 = a₄ = 7
다섯 번째에 있는 항 = 제5항 = a₅ = 9
n 번째에 있는 항 = 제n항 = a_n = 2n - 1

집합에서 원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합, 원소의 개수가 무수히 많아서 셀 수 없는 집합을 무한집합이라고 하죠? 소수에서 소수점 아래 숫자의 개수가 유한개인 소수를 유한소수, 소수점 아래 숫자가 끝도 없이 계속되면 무한소수라고 하고요.

수열에서도 항의 개수가 유한개인 수열을 유한수열, 항이 끝도 없이 계속되어 수를 셀 수 없는 수열을 무한수열이라고 해요. 유한수열에서 마지막 항을 끝항이라고 해요. 무한수열은 끝을 알 수 없으니 끝항이라는 게 없겠죠?

수열에서 제n항 a_n를 알려주면 n = 1, 2, 3…을 대입해서 모든 항을 구할 수 있죠? 그래서 a_n을 일반항이라고 해요. 그리고 일반항이 a_n인 수열을 간단히 {a_n}이라고도 나타내요.

수열: 어떤 규칙에 따라 숫자들을 늘어놓은 것
항: 수열을 이루고 있는 숫자 하나하나
유한수열: 항의 개수가 유한개인 수열
무한수열: 항이 끝도 없이 계속되어 항의 수를 셀 수 없는 수열
끝항: 유한수열에서 제일 마지막 항
a_n: 제 n 번째 항, 일반항 (n은 자연수)
{a_n}: 일반항이 a_n인 수열

다음을 구하여라.
(1) 일반항이 2 × 3^{n - 1}인 수열의 첫 번째 항부터 다섯 번째 항까지
(3) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …인 수열의 n 번째 항과 10번째 항

(1) 일반항 a_n = 2 × 3^{n - 1}일 때, n = 1, 2, 3, 4, 5를 대입해서 그 값을 구하면 그게 항이에요.

n = 1일 때: a₁ = 2 × 3^{1 - 1} = 2
n = 2일 때: a₂ = 2 × 3^{2 - 1} = 6
n = 3일 때: a₃ = 2 × 3^{3 - 1} = 18
n = 4일 때: a₄ = 2 × 3^{4 - 1} = 54
n = 5일 때: a₅ = 2 × 3^{5 - 1} = 162

이 수열은 무한수열인데, 다섯 번째 항까지만 구하라고 했으니까 답은 2, 6, 18, 54, 162에요.

(2)번은 규칙을 찾아야겠네요. 이 수열은 짝수의 수열이에요. a_n = 2n이죠?

n = 10일 때, a₁₀ = 20

따라서 a_n = 2n, a₁₀ = 20

로그부등식은 로그방정식 + 지수부등식이에요. 기본적으로 로그라는 기본 틀이 같으니까 로그방정식의 풀이법을 따르는데 식 자체가 부등식이니까 지수부등식에 나왔던 내용과 비슷하죠.

로그부등식을 풀 때 이용하는 성질은 로그함수의 그래프를 생각하면 쉽게 이해할 수 있어요. 로그함수의 그래프는 밑이 1보다 클 때와 0보다 크고 1보다 작을 때의 두 가지가 있었죠? 그래서 로그부등식을 푸는 기본 성질도 두 가지가 있어요.

이 두 가지 성질만 잘 이해하면 로그부등식의 문제를 푸는 게 아주 쉬워요.

로그부등식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 방정식이죠? 그러니까 로그부등식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식을 말해요.

지수부등식, 지수부등식의 풀이에서 지수함수의 그래프를 이용해서 지수부등식을 설명했어요. 로그부등식에서도 로그함수의 그래프를 이용해서 설명할게요.

로그함수 y = log_ax 그래프는 밑인 a의 크기에 따라 함수의 특징이 달라졌어요. a > 1일 때는 x가 증가하면 y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

아래는 a > 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

밑이 1보다 큰 로그함수는 증가함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ < log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 같아요.

이번에는 0 < a < 1일 때의 y = log_ax 그래프예요.

밑이 0보다 크고 1보다 작은 로그함수는 감소함수니까 x₁ < x₂이면 log_ax₁ > log_ax₂이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 반대예요.

• 임의의 양수 x₁, x₂에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
• a > 1일 때
  • log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ < x₂
  • (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
• 0 < a < 1일 때
  • log_ax₁ < log_ax₂ ⇔ x₁ > x₂
  • (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

로그부등식을 풀 때는 이 성질을 이용해요. 이 성질은 지수부등식, 지수부등식의 풀이에서의 특징과 같아요.

이건 밑이 같을 때예요. 만약에 밑이 다르면 어떻게 해야 할까요? 간단해요. 로그의 성질이나 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 만들어 주면 돼요.

지수에 로그가 있을 때는 로그를 취해서 풀어요.

공통부분이 있다면 치환을 하고요.

로그방정식에서 했던 것과 똑같죠?

그러니까 로그부등식은 지수부등식 + 로그방정식이에요.

그리고 로그부등식을 풀 때 절대 빠뜨리면 안 되는 게 한 가지 있어요. 바로 밑이 1이 아닌 양수, 진수가 양수인지 꼭 확인하는 거요. 로그의 정의에서 얘기한 밑과 진수의 조건에 맞는지 확인하는 거죠. 로그방정식에서도 중요한 내용이었어요.

다음 로그부등식의 해를 구하여라.
(1) log₂(x + 1) < 4
(2) log₃x ≥ log₉x
(3) (logx)² - logx < 6

(1)은 좌변은 로그, 우변은 그냥 실수네요. 우변에 log₂2 = 1을 곱해보죠.

log₂(x + 1) < 4
log₂(x + 1) < 4log₂2
log₂(x + 1) < log₂2⁴

양변의 밑이 2로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x + 1 < 2⁴
x < 15

여기서 끝이 아니죠? 로그의 진수는 양수여야 하니까 좌변의 진수 x + 1도 양수여야 해요.

x + 1 > 0
x > -1

따라서 해는 -1 < x < 15

(2)번은 양변의 밑이 서로 다르네요. 로그의 성질을 이용해서 밑을 같게 만들어줘야 해요.

양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x² ≥ x
x² - x ≥ 0
x(x - 1) ≥ 0

x ≤ 0 or x ≥ 1

진수 x²과 x가 양수여야 하죠?

x² > 0
x ≠ 0

x > 0

따라서 해는 x ≥ 1

(3)에는 밑이 없네요. 상용로그란 얘기죠. logx = t로 치환해보죠.

(logx)² - logx < 6
t² - t < 6
t² - t - 6 < 0
(t - 3)(t + 2) < 0
-2 < t < 3

-2 < logx < 3
-2log10< logx < 3log10
log10^-2 < logx < log10³

밑이 10으로 같고 1보다 크니까 부등호의 방향과 진수의 방향이 같아요.

10^-2 < x < 10³

진수 x는 0보다 커야하죠? x > 0

따라서 해는 < x < 1000

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지수, 지수의 성질(지수법칙), 지수함수와 그래프, 지수방정식, 지수부등식 순서로 공부했어요. 로그도 똑같겠죠? 로그, 로그의 성질, 로그함수와 그래프까지 했으니 이제 로그방정식을 공부할 차례에요.

로그방정식을 푸는 방법은 여러 가지예요. 로그의 정의와 로그의 성질을 이용해서 푸는 게 제일 기본적인 방법이에요. 그러니까 로그의 정의와 로그의 성질에 대해서 정확하게 알고 있어야 해요. 그 외에 문제 유형에 따라 여러 가지 방법들이 있으니 책에 있는 다양한 문제들을 많이 풀어보세요.

로그방정식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수가 있는 방정식을 말해요.

log_{x + 1}3 = 8, log₂x = 8 등

밑이 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 진수가 같아야 해요. 또 진수가 같은 두 로그가 같은 값을 가지려면 밑이 같아야 하고요. 물론 이때 밑은 1이 아닌 양수, 진수는 양수여야 하죠.

a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0일 때
log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
log_af(x) = log_bf(x) ⇔ a = b or f(x) = 1
log_af(x) = c ⇔ a^c = f(x)

기본적으로는 위의 세 가지를 이용해서 로그방정식을 풀어요.

두 번째 성질을 보죠. 만약에 f(x) = 1이라면 어떻게 될까요?

log₂1 = log₃1 = log₄1 = 0

로그에서 진수가 1이면 밑이 서로 달라도 로그는 모두 0으로 같아요. 양변의 값이 같으니까 f(x) = 1도 로그방정식의 해가 될 수 있죠?

진수인 f(x) ≠ 1일 때는 밑이 서로 같아야 하니까 a = b고요.

세 번째는 로그의 정의를 이용해서 로그를 지수로 바꾼 거예요.

이렇게도 생각할 수 있어요. log_aa = 1이잖아요. 그래서 우변 c에 a를 밑으로 하는 로그를 곱하는 거죠. 그다음 로그의 성질을 이용해서 c를 진수의 지수로 올리는 거예요.

log_af(x) = c
log_af(x) = c × log_aa
log_af(x) = log_aa^c
f(x) = a^c

이처럼 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수 있어요. 그러면 다른 로그의 성질을 이용해서 로그방정식을 풀 수도 있겠죠?

log₂3 = log₄x가 있다고 해보죠.

이라는 성질이 있어요.

이렇게 풀 수도 있겠죠? 다른 로그의 성질을 이용해보죠. 양쪽에 있는 두 로그의 밑이 다르니까 밑을 같게 만들어 볼까요? 로그의 밑 변환 공식을 이용하면 서로 밑을 똑같이 만들어 줄 수 있어요.

밑 변환 공식을 이용했더니 밑이 같아졌어요. 밑이 같아졌으니까 계속 풀 수 있죠.

이번에는 지수에 로그가 있을 때를 보죠.

2^log₄8 = x

이럴 때는 양변에 로그를 취해요.

2^log₄8 = x
log₂2^log₄8 = log₂x
log₄8 log₂2 = log₂x
log₄8 = log₂x

양쪽 다 로그가 되었어요. 밑이 다르니까 로그의 성질을 이용하거나 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 해준 다음에 풀면 되죠.

정리해보죠.

• 로그의 성질 이용: log_af(x) = c ⇔ a^c = f(x)
• 밑이 같을 때
  • 진수가 같다. log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
• 밑이 다를 때
  1. 로그의 성질, 로그의 밑 변환 공식을 이용하여 밑을 같게 만들어 준다.
  2. 진수가 같다.
• 진수가 같을 때: log_af(x) = log_bf(x)
  • 진수 = 1. f(x) = 1
  • 밑이 같다. a = b
• 지수에 로그가 있을 때: 양변에 로그를 취한다.

로그방정식을 풀 때는 항상 밑과 진수가 양수인지 확인해야 해요. 또 밑은 1인지 아닌지까지도 확인해야 하고요.

문제를 풀다 보면 공통부분이 생기기도 하는데 그럴 때는 치환을 하기도 해요. 치환은 긴 식을 간단히 해서 푸는 기술(?)로 어려운 문제를 풀 때는 항상 나오는 얘기니까 지수방정식에서도 빠지지 않아요.

다음 로그방정식의 해를 구하여라.
(1) log₂x = 3
(2) log₃(x + 2) = log₃x²
(3) log_{(x - 1)}(x + 1) = log₂(x + 1)

(1) 로그의 정의에 맞게 지수로 바꿔보죠.

log₂x = 3
x = 2³
x = 8

(2)번은 양쪽의 로그의 밑이 같아요. 그러니까 진수끼리 같아야 하죠.

log₃(x + 2) = log₃x²
x + 2 = x²
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 or -1

여기서 잊지말고 꼭 확인해야 할 게 있어요. (진수) > 0이요. (x + 2) > 0, x² > 0이어야 해요. 2와 -1 모두 이 범위를 만족하니까 해가 될 수 있네요.

x = 2 or -1

(3)번은 밑과 진수에 모두 미지수가 들어있네요. 그런데 진수가 (x + 1)로같아요. 그러니까 밑이 같은 경우를 생각해볼 수 있겠죠?

log_{(x - 1)}(x + 1) = log₂(x + 1)
x - 1 = 2
x = 3

또 진수 (x + 1) = 1이면 밑이 달라도 로그의 값은 0이어서 양변이 같을 수 있어요. 이 경우도 생각해봐야 하죠?

x + 1 = 1
x = 0

x = 3 or 0인데, 로그의 밑은 1이 아닌 양수니까 x - 1 > 0으로 x > 1(x ≠ 2)이에요. 따라서 해는 x = 3

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그래프를 공부하면 항상 그래프의 이동을 공부했어요. 로그함수의 그래프를 공부했으니 로그함수 그래프의 평행이동과 대칭이동에 대해서 공부할 차례죠.

이차함수든 지수함수든 로그함수든 어떤 함수가 됐든 그래프의 평행이동과 대칭이동은 별거 없어요. 원리는 다 똑같아요. 지금까지 계속 해왔던 거니까 간단히 짚고 넘어가죠.

여기서 공부하는 그래프를 외울 필요는 없어요. 그래프를 보고 "이건 어느 방향으로 어떻게 이동했구나."를 알면 돼요. 물론 함수식을 보고 "그래프가 어디에 어떻게 그려지겠구나."를 예상할 수 있어야 하고요.

로그함수 그래프의 평행이동

점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 적용하면 돼요.

• x축으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입
• y축으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q 대입
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p 대입, y 대신 y - q 대입

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 평행이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• x축으로 p만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p 대입
  • y = log_a(x - p)
• y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_ax → y = log_ax + q
• x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프
  • x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
  • y - q = log_a(x - p) → y = log_a(x - p) + q

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프예요. 각 그래프의 오른쪽 아래에 식이 쓰여 있어요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

로그함수 그래프의 대칭이동

로그함수 그래프의 대칭이동은 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용과 똑같아요.

• y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입
• x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y 대입
• 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x 대입, y 대신 -y 대입
• y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y 대입, y 대신 x 대입

참고로 마지막에 있는 y = x에 대하여 대칭이동을 보죠. 로그함수 그래프를 y = x에 대칭이동하면 지수함수의 그래프가 된다는 건 로그함수와 로그함수의 그래프에서 공부했어요.

로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 정리해보죠.

• 처음: y = log_ax
• y축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x 대입
  • y = log_a(-x)
• x축에 대하여 대칭이동한 그래프
  • y 대신 -y 대입
  • -y = log_ax → y = -log_ax
• 원점에 대하여 대칭이동한 그래프
  • x 대신 -x, y 대신 -y 대입
  • -y = log_a(-x) → y = -log_a(-x)

아래는 로그함수 y = log_ax (a > 1)의 그래프를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 그래프예요. 0 < a < 1일 때의 그래프도 원리는 같아요.

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로그함수와 로그함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

로그의 정의에서 공부했던 것처럼 로그와 지수(거듭제곱)는 서로 깊은 관계가 있어요. 따라서 로그함수와 지수함수도 아주 깊은 관계가 있죠. 그래프도 물론이고요.

역함수와 역함수의 그래프의 성질에 대해서 알고 있으면 로그함수와 지수함수의 관계를 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

로그함수

역함수, 역함수 구하는 법에서 역함수 구하는 방법 공부했었죠?

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수를 구해보죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
   지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)에서 정의역은 실수의 집합이고, 치역은 양수의 집합이었어요. 그리고 일대일 대응이죠.
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
   로그의 정의에 따르면 y = a^x → x = log_ay
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
   y = log_ax
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
   정의역은 양수의 집합, 치역은 실수의 집합

지수함수의 역함수를 구했더니 a를 밑으로 하는 로그가 되었죠? 이 로그를 로그함수라고 해요.

로그함수
y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)
지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 역함수
정의역은 양수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합

로그함수의 그래프

로그함수의 그래프를 한 번 그려보죠.

로그함수는 지수함수의 역함수예요. 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이에요. 지수함수 y = a^x의 그래프를 y = x에 대칭이동한 그래프가 로그함수 y = log_ax의 그래프죠.

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고 x축이 점근선이었어요.

그리고 a의 범위에 따라 두 가지 형태가 있었죠. a > 1일 때는 x가 증가할 때, y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

왼쪽이 a > 1일 때로 얇은 빨간선이 y = a^x의 그래프, 두꺼운 파란선이 y = log_ax의 그래프예요. 로그함수의 그래프도 x가 증가하면 y가 증가하네요. 로그함수의 그래프는 y축에 점점 가까워지니까 y축이 점근선이에요.

오른쪽이 0 < a < 1일 때로 지수함수와 로그함수의 그래프에서 x가 증가하면 y가 감소해요.

지수함수 y = a^x, 로그함수 y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)를 비교해보죠.

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상용로그의 활용에서 빼놓지 않고 나오는 문제는 예금 문제예요. 원금, 기간, 연이율 등을 알려주고 만기 때 얼마를 받을 수 있나를 묻는 문제지요.

물론 계산기로 간단하게 계산할 수 있는 문제이긴 하지만 상용로그의 성질과 상용로그표만 있다면 계산기 없이도 그 값을 구할 수 있어요.

단리와 복리라는 방법으로 계산하는데 이게 상당히 복잡해요. 아마 한 두 번 읽어서는 이해가 안 될 수도 있어요. 여러 번 반복해서 꼼꼼하게 읽어보세요.

상용로그의 활용

먼저 단리와 복리에 대해서 알아보죠.

예를 들어 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 단리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원이죠.
두 번째 해에도 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 주죠. 총 102만 원이 됐어요.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 줍니다.

결국, 10년동안 1만 원씩 10번을 주니까 총 10만 원의 이자를 받죠. 물론 원금 100만 원도 받고요. 100만 원이 10년 후에는 110만 원이 돼요.

이걸 식으로 나타내보죠. 1% = 0.01이군요.

첫해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01 + 0.01) = 100만원(1 + 0.02)
세 번째 해: 100만원(1 + 0.02) + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.02 + 0.01) = 100만원(1 + 0.03)
n 번째 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 × n = 100만원(1 + 0.01 × n)

이게 단리예요. 원금은 일정하고 그에 대한 이자만 지급하는 방식이에요.

복리는 조금 복잡해요.

똑같이 100만 원을 은행에 넣고 매년 1%의 이자를 10년 동안 복리로 받는다고 해보죠.

첫해에는 100만 원의 1%인 1만 원을 이자로 줘요. 총 101만 원의 돈이 있어요.
두 번째 해에는 원금 100만 원의 1%인 만 원만 이자로 주는 게 아니에요. 원금 100만 원에 전년도에 받은 이자 1만 원까지 101만 원의 1%인 1만 1백 원을 이자로 주지요. 총 102만 1백 원이 있어요.
세 번째 해에는 원금 100만 원에 첫해에 받은 이자 1만 원, 두 번째 해에 받은 1만 1백 원까지 해서 102만 1백 원의 1%인 1만 201원을 이자로 줘요. 총 103만 301원이 있어요.

이걸 식으로 나타내보죠.

첫 해: 100만원 + 100만원 × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)
두 번째 해: 100만원(1 + 0.01) + 100만원(1 + 0.01) × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)²
세 번째 해: 100만원(1 + 0.01)² + 100만원(1 + 0.01)² × 0.01 = 100만원(1 + 0.01)²(1 + 0.01) = 100만원(1 + 0.01)³
n 번째 해: 100만원(1 + 0.01)ⁿ

복리는 이렇게 단리와 다르게 이자에도 이자를 쳐줘요. 그래서 단리보다 계산도 복잡하고 마지막에 받는 돈도 더 많이 받죠.

원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: 원, 복리: 원

1000만 원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 때와 복리로 계산할 때의 10년 후 원리합계의 차이는 얼마인지 구하여라. (log1.05 = 0.0212, log1.63 = 0.2122)

먼저 단리로 계산해보죠.

15,000,000원이네요.

복리로 계산해보죠.

1.05¹⁰을 구하려면 구할 수는 있어요. 하지만 상용로그값이 나와 있으니 이걸 활용해볼까요?

1.05¹⁰에 상용로그를 취해보죠.

log1.05¹⁰ = 10 × log1.05 = 10 × 0.0212 = 0.212

우리가 알아야하는 건 1.05¹⁰인데, 실제로 구한 건 log1.05¹⁰ = 0.212에요. 그럼 여기서 1.05¹⁰을 어떻게 구할까요? 두 상용로그의 값이 같으려면 진수가 같아야 해요. 상용로그표에서 0.212라는 상용로그값을 갖는 진수를 찾으면 그 진수와 1.05¹⁰가 같다는 거지요.

똑같은 값은 없고 log1.63 = 0.2122로 0.212와 가장 가깝네요.

즉 log1.05¹⁰ = 0.212 ≒ 0.2122 = log1.63

1.05¹⁰ ≒ 1.63이라는 걸 구했어요. 실제로 1.05¹⁰ ≒ 1.6289에요.

이제 식에 대입해보죠.

16,300,000원이네요.

복리로 하면 16,300.000원, 단리로 하면 15,000,000만원이에요.

그 차이는 1,300,000원이네요.

복리로 하는 게 훨씬 이익이죠?

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상용로그도 제곱근표, 삼각함수표처럼 그 값을 미리 구해놓은 표가 있어요.

이 글에서는 상용로그표를 이용하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. 상용로그표에서 원하는 숫자의 상용로그 값을 어떻게 찾는지 말이죠. 상용로그표를 이용하는 방법은 제곱근표, 삼각함수표와 같으니까 어렵지 않아요.

상용로그표에는 전에 사용했던 표에는 없던 비례부분이라는 게 있는데, 비례부분이 어떤 걸 말하는지 또 비례배분을 이용해서 상용로그값을 어떻게 찾는지도 알아보죠.

상용로그표

상용로그표는 1.00 ~ 9.99까지의 상용로그값을 표로 만들어 놓은 거예요. 제곱근표, 삼각비표, 삼각함수표랑 비슷하지요.

세로에는  1.0 ~ 9.9까지 있는데, 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리이고, 가로에는 0 ~ 9까지의 있는데 소수점 이하 두 번째 자리를 나타내요. 소수점 앞에 0이 생략되어 있어요.

세로에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 번째 자리, 가로줄에서 소수점 이하 두 번째 자리를 선택해서 만나는 점의 숫자가 상용로그값이에요.

log1.23에서 일의 자리와 소수점 이하 첫 자리가 1.2니까 세로줄에서 1.2를 선택하고, 소수점 이하 두 번째 자리 3이니까 가로줄에서 3을 선택했어요. 두 줄이 만나는 0.0899가 log1.23의 값이에요.

비례부분의 법칙

상용로그표에서는 1.00 ~ 9.99사이의 값을 구할 수 있어요. 상용로그표에 있지 않은 숫자는 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 구할 수 있어요.

log123 = log(1.23 × 10²) = log1.23 + log10² = 0.0899 + 2 = 2.0899

그런데, 1.234처럼 상용로그표에 나온 숫자와 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 없는 수의 값은 어떻게 구할까요? 이런 값을 구할 때 비례부분의 법칙이라는 걸 활용해요.

비례부분의 법칙은 진수의 변화가 작을 때 진수가 바뀌는 것과 상용로그 값이 바뀌는 게 정비례한다고 가정하고 근삿값을 구하는 거예요. 구하려고 하는 숫자와 가장 가까운 두 숫자를 상용로그표에서 찾아서 그 둘의 비례를 이용해서 값을 구하는 거죠.

log1.234의 값을 구해보죠.

상용로그표에서 진수 1.234와 가장 가까운 두 숫자는 1.23, 1.24예요.

log1.23 = 0.0899
log1.24 = 0.0934

두 상용로그에서 진수가 0.01차이 날 때 상용로그값은 0.0035차이나죠? 1.234와 1.23은 0.004차이 나고요. 진수가 차이 나는 비율만큼 상용로그값도 차이가 난다고 보고 이걸 비례식으로 세워보죠.

(1.24 - 1.23) : (0.0934 - 0.0899) = (1.234 - 1.23) : x
0.01 : 0.0035 = 0.004 : x

비례식을 풀어보면 x = 0.0014가 나와요.

log1.234
= log1.23 + 0.0014
= 0.0899 + 0.0014
= 0.0913

이런 방법으로 0.001단위씩 구한 숫자들을 상용로그표의 비례부분에 적어놓았어요.

상용로그표의 비례부분에서 세로줄의 1.2와 가로줄 비례부분의 4가 만나는 곳의 숫자 14가 0.0014예요. 상용로그표에는 소수점 아래 네 자리 숫자로 나와 있으니까 14에서 1은 소수점 아래 세 번째, 4는 소수점 아래 네 번째 자리의 숫자예요.

14라는 건 그 줄에서 구한 모든 값에 항상 0.0014를 더해주는 거예요.

log1.234 = log1.23 + 0.0014
log1.244 = log1.24 + 0.0014
log1.254 = log1.25 + 0.0014

위 상용로그표를 보고 log1.353의 값을 구해볼까요?

일단 상용로그표에서 log1.35 = 0.1303이네요. 그리고 비례부분을 보면 1.3과 비례부분의 3이 만나는 곳의 숫자가 10인데 이건 0.0010을 의미해요. 따라서 log1.353 = log1.35 + 0.0010 = 0.1313이에요.

상용로그표에 나와 있지 않는 숫자들의 상용로그값을 구할 수 있겠죠?

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거듭제곱근에서 제곱근이 기본인 것처럼 로그의 기본은 상용로그예요.

이 글에서는 상용로그가 무엇인지, 상용로그에서 사용하는 용어인 지표와 가수가 무엇인지에 대해서 알아볼 거예요. 또 이 지표와 가수는 어떤 특징이 있는지도 알아볼 거고요. 지표와 가수의 성질을 이용하면 2¹⁰⁰처럼 엄청 큰 숫자를 직접 구해보지 않아도 몇 자리 자연수인지 쉽게 알 수 있어요. 예제를 통해서 직접 구해보죠.

상용로그

10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라고 해요. 거듭제곱에서 지수 1은 생략하죠? 제곱근에서 의 2를 생략하는 것처럼 상용로그에서는 밑 10을 생략해요.

log₁₀2 = log2
log₁₀10 = log10 = 1
log₁₀100 = log100 = log10² = 2

상용로그의 지표와 가수

일반적으로 양수 N은 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)으로 나타낼 수 있죠?

123 = 1.23 × 10²
0.123 = 1.23 × 10^-1

N = a  × 10ⁿ의 양변에 상용로그를 취해보죠.

logN = log(a × 10ⁿ)
logN = loga + log10ⁿ
logN = n + loga

1 ≤ a < 10에 상용로그를 취해보죠.

log1 ≤ loga < log10
0 ≤ loga < 1

loga는 소수예요.

logN = n + loga에서 정수 부분 n을 logN의 지표, 소수 부분인 loga를 logN의 가수라고 해요.

중3 때 공부했던 무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 무리수를 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타내는 것처럼 상용로그도 정수 부분과 소수 부분의 합으로 나타낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때 다음 상용로그의 지표와 가수를 구하여라.
(1) log123
(2) log12300
(3) log0.123
(4)

양수 N = a  × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)로 바꾸고 상용로그를 취하여 logN = n + loga가 되었을 때 정수 부분 n을 지표, 0 ≤ loga < 1인 소수 부분을 가수라고 해요.

(1) log123 = log(1.23 × 10²)
log123 = log1.23 + log10²
log123 = 2log10 + log1.23
log123 = 2 + 0.0899

지표는 2, 가수는 0.0899

(1) log12300 = log(1.23 × 10⁴)
log12300 = log1.23 + log10⁴
log12300 = 4log10 + log1.23
log12300 = 4 + 0.0899

지표는 4, 가수는 0.0899

(3) log0.123 = log(1.23 × 10^-1)
log0.123 = log1.23 + log10^-1
log0.123 = -1 + 0.0899

지표는 -1, 가수는 0.0899

(4)번은 진수가 분수네요. 로그의 뺄셈으로 바꿀 수 있죠?

지표는 -2, 가수는 -0.0899일까요? 아니에요. 가수의 범위는 0 ≤ 가수 < 1인데, 여기서는 0보다 작아요.

무리수의 정수 부분과 소수 부분에서 음수인 무리수는 어떻게 했나요? 0 ≤ (소수 부분) < 1이어야 하니까 소수 부분이 음수일 때 소수 부분에는 (+1)을 정수 부분에는 (-1)을 해줬어요. 여기서도 똑같이 소수 부분에 (+1), 정수 부분에 (-1)을 해줘요.

-2 - 0.0899
= (-2 - 1) + (1 - 0.0899)
= -3 + 0.9101

지표는 -3, 가수는 0.9101

(3)번에서는 지표는 음수지만 0 ≤ 가수 < 1를 만족하니까 그냥 그대로 둔 거고 (4)번은 가수가 0보다 작아서 +1, -1을 해줘서 값을 바로잡은 거예요.

상용로그의 값이 음수일 때 지표와 가수

위 예제에서

log123 = 2 + 0.0899 = 2.0899
log0.123 = -1 + 0.0899 = -0.9101

log123은 log123 = 2 + 0.0899으로 쓰여 있으나 log123 = 2.0899로 쓰여 있으나 지표와 가수를 알아보기 쉬워요.

log0.123 = -1 + 0.0899로 쓰여 있으면 지표와 가수를 알아보기 쉬워요. 그런데 log0.123 = -0.9101로 되어 있으면 지표와 가수를 알아보기 힘들죠? 그래서 log0.123 = -1 + 0.0899 = 로 쓰기도 해요. 음수인 지표 위에 윗줄(bar)를 긋고 양수인 가수는 그냥 그대로 소수점 이하 숫자로 적는 거죠.

 = -3 + 0.9101에서 지표는 -3이니까 위에 줄을 그어서 , 그 뒤에 가수 0.9101을 그대로 붙인 로 나타내죠.

이런 표현법은 음수인 지표와 양수인 가수를 한꺼번에 쓴 거니까 일반적인 양수, 음수와 달라요.

 ≠ -3.9101

 = -3 + 0.9101
-3.9101 = -3 - 0.9101

상용로그 지표와 가수의 성질

몇 가지 더 구해볼까요?

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = log(1.23 × 10¹) = log1.23 + log10¹ = log10 + log1.23 = 1 + 0.0899
log1230 = log(1.23 × 10³) = log1.23 + log10³ = 3log10 + log1.23 = 3 + 0.0899
log0.0123 = log(1.23 × 10^-2) = log1.23 + log10^-2 = -2log10 + log1.23 = -2 + 0.0899

앞의 예제와 위에서 구한 상용로그들을 순서대로 적어보죠.

log1.23 = 0 + 0.0899
log12.3 = 1 + 0.0899
log123 = 2 + 0.0899
log1230 = 3 + 0.0899
log12300 = 4 + 0.0899
log0.123 = -1 + 0.0899
log0.0123 = -2 + 0.0899

어떤 특징이 있나요?

일단 제일 먼저 눈에 띠는 건 가수가 모두 같아요. 진수가 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300, 0.123, 0.0123으로 숫자들의 배열은 같고 소수점의 위치만 다를 때 가수가 모두 같죠.

두 번째는 1.23, 12.3, 123, 1230, 12300으로 진수의 자리수가 하나 늘어날 때마다 지표가 1씩 커지죠? 진수의 정수 부분이 한 자리면 지표는 0, 진수의 정수 부분이 두 자리면 지표가 1이에요. 진수의 정수 부분의 자릿수보다 지표가 1작아요. 진수의 정수 부분이 n자리면 지표는 n - 1이죠.

정수 부분이 0일 때는 어떤가요? 0.123에서 정수 부분이 0으로 한 자리니까 지표는 -1이죠. 그런데, 0.0123에서 정수 부분이 0으로 한 자리인데 지표는 -2죠? 정수 부분이 n자리면 지표가 n - 1이라는 건 진수의 정수 부분이 0일 때는 성립하지 않는 걸 알 수 있어요.

정수 부분이 0일 때는 다른 특징이 있어요.

0.123에서는 소수점 이하 첫 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요. 그리고 이때의 지표는 -1이죠. 0.0123에서는 소수점 이하 두 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오고 이때의 지표는 -2예요.

즉 진수의 정수 부분이 0일 때는 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리수가 지표와 같아요. 소수점 이하 n번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오면 지표는 -n이에요. -n은 이라고도 표시하죠?

지표와 가수의 성질
진수의 정수 부분이 0보다 클 때: 정수 부분의 자릿수가 n이면 상용로그의 지표는 n - 1
진수의 정수 부분이 0일 때: 소수점 이하에서 처음으로 0이 아닌 수가 나오는 자리가 n이면 상용로그의 지표는 -n()
진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다를 때: 상용로그의 가수가 같다.

이 지표와 가수의 성질을 알면 위의 예제처럼 로그의 성질을 이용해서 계산을 하지 않고 진수만 보고 바로 지표와 가수를 바로 알아낼 수 있어요.

log1.23 = 0.0899일 때, log1230000의 지표와 가수를 구해보죠.

1230000은 정수 부분이 7자리이므로 지표는 6, 진수의 숫자 배열이 같고 소수점의 위치만 다르니까 가수는 같아요.

log1230000 = 6 + 0.0899

log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때 다음을 구하여라.
(1) 2¹⁰⁰는 몇 자리의 자연수인지 구하여라.
(2) 은 소수 몇 번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는지 구하여라.
(3) 6⁵⁰은 몇 자리의 자연수인지 구하여라.

(1) 2¹⁰⁰에 상용로그를 취해보죠.

log2¹⁰⁰ = 100 × log2 = 100 × 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10

지표가 30이므로 진수 2¹⁰⁰의 정수 부분은 31자리네요. 따라서 2¹⁰⁰은 31자리 자연수입니다.

(2) 도 상용로그를 취해보죠.

지표가 -61이므로 소수점 이하 61번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나와요.

(3) 6⁵⁰에 상용로그를 취해보죠

log6⁵⁰ = 50 × log6 = 50 × (log2 + log3) = 50 × (0.3010 + 0.4771) = 50 × 0.7781 = 38.905 = 38 + 0.905

지표가 38이므로 진수 6⁵⁰은 정수 부분이 39자리입니다. 따라서 6⁵⁰은 39자리 자연수네요.

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로그의 성질 두 번째예요. 로그의 성질 첫 번째는 로그의 정의를 이용해서 유도했어요. 로그의 성질 두 번째는 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 유도해요.

여기서 공부한 성질까지 합쳐서 로그의 성질 모두를 외워야 합니다. 이름만 성질이고, 실제 내용은 공식이에요. 로그의 성질을 알고 있어야 로그의 계산을 할 수 있어요.

로그의 계산은 단순한 사칙연산에 불과하니까 로그의 성질만 알고 있다면 금방 풀 수 있어요.

로그의 성질 두 번째

로그의 성질 네 가지를 공부했었는데, 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 새로운 로그의 성질을 유도할 수 있어요. 여기서도 네 가지를 유도해보죠.

밑과 진수에 모두 지수가 있을 때예요. c(c > 0, c ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 성질에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있었죠? 그것처럼 밑의 지수도 앞으로 가져올 수 있어요. 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 가져와요.

로그의 성질에서 네 번째 성질과 비슷하니까 하나로 합쳐서 아래처럼 바꿀 수 있겠죠?

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, m, n이 실수일 때

이렇게 네 개는 꼭 외우세요.

이번에는 밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱해보죠.

밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱하면 1이에요.

지수에 로그가 있을 때 로그의 성질

처럼 지수에 로그가 있을 때도 있어요. 특히 지수의 밑과 로그의 밑이 a로 같아요.

= t라고 하고 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

네 번째 줄에서 두 로그의 값이 같을 때, 밑이 a로 같으니까 진수끼리도 같아야 해서 b = t이에요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요.

결과는 지수의 밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다는 거예요.

이번에는 를 보죠. 이때는 지수의 밑은 a, 로그의 밑은 c로 서로 달라요.

= t라고 하고 양변에 c를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서는 로그의 성질을 이용해서 진수의 지수를 로그 앞으로 내렸다면 다섯 번째 줄에서는 반대로 로그 앞에 있던 log_ca를 진수 b의 지수로 올렸어요.

마지막 줄에서는  = t라고 했으니까 대입했고요

생긴 게 좀 이상하죠? 지수에 있는 로그의 밑은 둘 다 c로 같은데, 지수의 밑과 로그의 진수가 서로 자리를 바꿨죠? 양쪽의 지수에 밑이 같은 로그가 있을 때는 지수의 밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 같다는 거예요.

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂3 × log₃4
(2)

(1) log₂3 × log₃4
= log₂3 × log₃2²
= 2 × log₂3 × log₃2
= 2

밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱은 1이에요. 그래서 앞에 2만 남았어요.

(2) 밑과 진수가 바뀐 두 로그인데 곱이 아니라 덧셈이에요.

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로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

a^x = b를 로그로 변환해보죠.
a^x = b ⇔ log_ab = x   …… ①

a^x = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 2², b = 2³이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 3³, b = 3⁴니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 a^x = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? log_bb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log₄2
(2) log₂3 × log₃4

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

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로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.

로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.

로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.

로그의 성질

a⁰ = 1, a¹ = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a⁰ = 1 ⇔ log_a1 = 0
a¹ = a ⇔ log_aa = 1

진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.

a^x = M, a^y = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x   …… ①
a^y = N ⇔ log_aN = y   …… ②

이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x × a^y = a^{x + y} = MN ⇔ log_aMN = x + y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
log_aMN = log_aM + log_aN

이번에는 a^x = M을 a^y = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.

a^x ÷ a^y = a^{x - y} = ⇔  = x - y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면

진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.

이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.

a^x = M = L^k이라고 해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x
a^x = L^k ⇔ log_aL^k = x   …… ③

③에서 log_aL^k = x니까 위 식의 x에 대입하면 log_aL^k = klog_aL이 성립해요.

진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.

로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.

아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
(2)
(3)

(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
= 1 + log₂2² + log₂2³
= 1 + 2log₂2 + 3log₂2
= 1 + 2 + 3
= 6

하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.

log₂2 + log₂4 + log₂8
= log₂(2 × 4 × 8)
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6

(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₃2는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.

(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₄2는 (2)번의 log₃2와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.

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로그입니다. 로그는 새로운 내용인데, 다행히도 거듭제곱과 거듭제곱근의 친구예요. 절친 중의 절친이죠. 셋이 서로 정말 닮아있어요.

로그는 거듭제곱과 거듭제곱근에 대해서 잘 이해하고 있다면 쉽게 할 수 있어요. 계산이 어렵지도 않고 지수에서 했던 내용이 많이 나오거든요. 거듭제곱의 다른 이름이 지수니까요.

첫 번째 시간이니까 로그의 정의에 대해서 확실히 이해하세요. 정의만 잘 이해하면 계산은 그냥 하나도 어렵지 않은 단지 귀찮은 지수법칙 계산일 뿐이에요.

로그의 정의

a^x = b라는 식이 있다고 해보죠?

만약에 a, x는 알고 있는데, b를 모른다고 해보죠. 그럼 b를 어떻게 구하나요? a를 x번 곱해서 b를 구하겠죠? 이걸 거듭제곱이라고 불러요. b = a^x 지수법칙, 지수함수도 같은 부류죠.

이번에는 x, b는 알고 있는데 a를 모른다고 해보죠. 여기서 a는 x제곱해서 b가 되는 수로 거듭제곱근을 이용해서 구할 수 있어요.

마지막으로 a, b는 알고 있는데 x를 모른다고 해보죠. x를 어떻게 구할까요? 바로 x를 구하는 방법이 로그에요. 영어로는 Logarithm이라고 하지요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그는 사실 하나의 식이에요. 그 식에서 우리가 얻으려고 하는 게 무엇인지에 따라 부르는 이름이 달라지고 표시하는 방법이 달라지는 거죠.

거듭제곱근을 구할 때 식의 모양을 바꾸는 것처럼 로그를 구할 때도 식의 모양을 바꿔요. a와 b를 이용해서 x를 구하는 식이요.

먼저 Logarithm의 앞 세 글자 log를 쓰고 a는 아래 첨자로, b는 그냥 보통 글자로 써요. a를 log 글자의 오른쪽 아래에 조그맣게 쓰는 건 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 쓰는 것과 비슷해요.

이렇게 나타낸 log_ab를 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 해요. 아래에 조그맣게 쓰는 a를 밑, 보통 글자로 쓰는 b를 진수라고 하죠. a는 원래 지수에서도 밑이었죠?

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1이어야 그 결과가 실수가 된다고 했어요. 로그에서도 마찬가지로 a > 0이어야 그 결과가 실수예요.

로그의 의미에서 생각해보면 a를 몇 제곱해야 b가 나오는지 구하는 거예요. 그런데 a = 1, b = 1이면 x가 어떤 수가 되더라도 식을 만족하니까 무수히 많은 x가 존재해요. 또 a = 1이고 b ≠ 1이라면 이걸 만족하는 x는 존재하지 않죠. 따라서 a ≠ 1이어야 해요.

결국, a > 0이고 a ≠ 1이어야 해요.

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1일 때 y > 0이었어요. 여기서는 y 대신 b를 사용했으니 마찬가지로 b > 0이에요.

 (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그의 사이에 관계에 대해서 이해하고 있어야 해요.

다음에서 지수는 로그로, 로그는 지수를 이용하여 나타내어라.
(1) 2³ = 8
(2)
(3) 10^-3 = 0.001
(4) 4 = log₃81
(5)

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때, a^x = b ⇔ x = log_ab

(1) 2³ = 8 ⇔ 3 = log₂8

(2)

(3) 10^-3 = 0.001 ⇔ -3 = log₁₀0.001

(4) 4 = log₃81 ⇔ 3⁴ = 81

(5)

다음 로그의 값을 구하여라.
(1) log₃81
(2) log₄2

a > 0, a ≠ 1, b > 0일 때 x = log_ab ⇔ a^x = b로 바꿔서 해를 구해요. 그러면 지수방정식으로 풀 수 있어요.

(1) x = log₃81로 놓으면
3^x = 81
3^x = 3⁴
x = 4

(2) x = log₄2로 놓으면
4^x = 2
(2²)^x = 2
2^2x = 2
2x = 1
x =

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이차함수의 그래프와 이차부등식의 풀이에서 그래프를 그려보면 이차부등식의 해를 구하는 과정을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 지수함수의 그래프를 그리고, 지수함수 그래프의 특징을 잘 이해한다면 지수부등식의 성질을 이해하는 데 많은 도움이 됩니다.

원래 방정식과 부등식은 사촌이죠? 그러니까 지수부등식과 지수방정식은 뜻은 물론 풀이방법도 서로 비슷해요. 지수부등식이 가지는 몇 가지 특징이 있는데 이걸 지수방정식의 풀이방법과 잘 조합한 게 지수부등식의 풀이 방법이에요.

지수부등식

지수방정식은 지수에 미지수가 있는 방정식이죠. 그럼 지수부등식은요? 지수에 미지수가 있는 부등식이에요. 방정식의 등호(=)가 부등식에서는 부등호(>, ≥, <, ≤)로 바뀐 것뿐이고요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해에서 이차함수의 그래프를 이용해서 이차부등식을 푸는 방법을 알아봤지요? 지수부등식에서도 지수함수의 그래프를 이용해서 풀면 훨씬 더 쉬워요.

먼저 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프의 특징을 간단하게 되짚어보죠.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

치역이 양수의 집합이니까 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0이에요.

a > 1일 때의 그래프를 볼까요? 지수 x가 증가하면 결과 y도 증가해요.

지수함수 y = a^x (a > 1)의 그래프는 증가함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수가 지수도 커요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ < x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요.

0 < a < 1일 때의 그래프는 지수 x가 증가하면 결과 y는 감소해요.

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)의 그래프는 감소함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수의 지수가 작아요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ > x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대예요.

정리해보죠.

• 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
• a > 1일 때
  • a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
  • (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
• 0 < a < 1일 때
  • a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
  • (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수부등식을 풀 때는 밑을 같게 한 다음 위 성질을 이용해서 풀어요.

다음 지수부등식을 풀어라.
(1)
(2)

지수부등식에서 밑이 1보다 클 때는 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대고요.

(1) 우변의 무리수를 지수를 이용해서 나타내보죠.

밑이 2로 1보다 크니까 부등호의 방향이 같아요.

(2)

밑이 서로 다르니까 같게 해줘야겠네요.

밑이 0보다 크고 1보다 작으니까 부등호의 방향이 반대예요.

-x + 2 < 2x - 4
3x > 6
x > 2

이제는 항이 3개인 지수부등식을 풀어보죠. 항이 3개인 지수방정식은 어떻게 풀었나요? 지수방정식의 모양을 바꾼 후에 a^x = t로 치환해서 풀었죠? 지수부등식에서도 똑같이 치환해서 풀어요.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0의 해를 구하여라.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0
4 × 3^x × 3 - (3²)^x - 27> 0
-(3^x)² + 12 × 3^x - 27 > 0
(3^x)² - 12 × 3^x + 27< 0
t² - 12t + 27< 0                    (∵ 3^x = t로 치환)
(t - 9)(t - 3) < 0
3 < t < 9
3 < 3^x < 9                          (∵ t = 3^x)
3¹ < 3^x < 3²
1 < x < 2

밑 3이 1보다 크니까 방향은 그대로 두고 풀었더니 1 < x < 2가 나오네요.

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지수법칙 - 실수 지수, 정수 지수, 유리수 지수 비교