수열은 지금까지 한 번도 본 적이 없는 새로운 단원이에요. 따라서 처음 보는 용어들이 많이 나와요. 용어의 뜻과 그 의미를 제대로 이해하고 넘어가야 해요.
좋은 점이라면 다른 단원에 대해서 이해가 부족해도 새롭게 시작할 수 있다는 거지요. 방정식을 몰라도 함수를 몰라도 수열을 공부하는 데는 전혀 지장이 없어요.
이번 글에서는 수열에서 사용하는 기본적인 용어인 항, 일반항의 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 앞으로 수열 단원에서 계속 사용할 용어니까 머리 속에 팍팍 집어넣으세요.
수열
1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 그냥 쭉 써놓은 거죠. 1, 3, 5, 7, 9, …는 홀수, 2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 그냥 쭉 써놓은 거예요.
이처럼 어떤 규칙에 따라서 숫자들을 늘어놓은 걸 수열이라고 해요.
1, 4, 7, 10, 13, …은 앞의 숫자보다 3이 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이고, 1, 2, 4, 8, 16, 32, …는 앞의 숫자보다 2배 큰 숫자를 계속 적어놓은 수열이죠.
수열을 이루고 있는 숫자들 하나하나를 항이라고 해요. 그리고 제일 앞에 있는 항을 제1항(첫째항), 두 번째에 있는 항을 제2항(둘째항), 세 번째 있는 항을 제3항(세째항), n번째 있는 항을 제n항(n번째 항)이라고 해요. 여기서 n은 항이 있는 자릿수로 자연수예요.
제1항을 기호로 a1이라고 하고, 제2항은 a2, 제3항은 a3, 제n항은 an로 표시해요.
a1, a2, a3, a4, …, an, …
1, 3, 5, 7, 9, …를 보죠.
첫 번째에 있는 항 = 제1항 = a1 = 1
두 번째에 있는 항 = 제2항 = a2 = 3
세 번째에 있는 항 = 제3항 = a3 = 5
네 번째에 있는 항 = 제4항 = a4 = 7
다섯 번째에 있는 항 = 제5항 = a5 = 9
n 번째에 있는 항 = 제n항 = an = 2n - 1
집합에서 원소의 개수가 유한개인 집합을 유한집합, 원소의 개수가 무수히 많아서 셀 수 없는 집합을 무한집합이라고 하죠? 소수에서 소수점 아래 숫자의 개수가 유한개인 소수를 유한소수, 소수점 아래 숫자가 끝도 없이 계속되면 무한소수라고 하고요.
수열에서도 항의 개수가 유한개인 수열을 유한수열, 항이 끝도 없이 계속되어 수를 셀 수 없는 수열을 무한수열이라고 해요. 유한수열에서 마지막 항을 끝항이라고 해요. 무한수열은 끝을 알 수 없으니 끝항이라는 게 없겠죠?
수열에서 제n항 an를 알려주면 n = 1, 2, 3…을 대입해서 모든 항을 구할 수 있죠? 그래서 an을 일반항이라고 해요. 그리고 일반항이 an인 수열을 간단히 {an}이라고도 나타내요.
수열: 어떤 규칙에 따라 숫자들을 늘어놓은 것
항: 수열을 이루고 있는 숫자 하나하나
유한수열: 항의 개수가 유한개인 수열
무한수열: 항이 끝도 없이 계속되어 항의 수를 셀 수 없는 수열
끝항: 유한수열에서 제일 마지막 항
an: 제 n 번째 항, 일반항 (n은 자연수)
{an}: 일반항이 an인 수열
다음을 구하여라.
(1) 일반항이 2 × 3n - 1인 수열의 첫 번째 항부터 다섯 번째 항까지
(3) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …인 수열의 n 번째 항과 10번째 항
(1) 일반항 an = 2 × 3n - 1일 때, n = 1, 2, 3, 4, 5를 대입해서 그 값을 구하면 그게 항이에요.
n = 1일 때: a1 = 2 × 31 - 1 = 2
n = 2일 때: a2 = 2 × 32 - 1 = 6
n = 3일 때: a3 = 2 × 33 - 1 = 18
n = 4일 때: a4 = 2 × 34 - 1 = 54
n = 5일 때: a5 = 2 × 35 - 1 = 162
이 수열은 무한수열인데, 다섯 번째 항까지만 구하라고 했으니까 답은 2, 6, 18, 54, 162에요.
(2)번은 규칙을 찾아야겠네요. 이 수열은 짝수의 수열이에요. an = 2n이죠?
n = 10일 때, a10 = 20
따라서 an = 2n, a10 = 20
비밀댓글입니다
항의 순서는 자연수지만 항 자체는 복소수도 가능하죠
i, -1, -i, 1, .... 도 수열이에요.
수열쪽에서 특히 등비배우다보면~ 연립방정식같은거 풀때가 있더라구요~ 뭐 한쪽에서 한쪽을 나눈다고 설명은 되어있는데 궁굼합니다 원래 연립방정식을 푸는건 가감법 대입법 등치법 3가지로 중2때 배우잖아요~ 근데 갑자기 수열파트에서는 나눠서 풀더라구오~ 뭐 그냥 시키는 대로만 하자니 졸 이해불가^^ 나눈다?? 어떻게 나눠서 연립방정식이 풀리는건지 개념이 안세워짐요~ 뭐 따지고보면 가감법도 빼라고 하니깐 당연히 그런줄아는거지 왜 그게 연립방정식이 풀리는건지는 늘 고민이였어요
연립방정식것 뿐 아니라 모든 방정식을 푸는 원리는 간단해요.
1. 미지수의 개수를 줄인다.
2. 미지수의 차수를 낮춘다.
중학교 2학년 때 배우는 가감법, 대입법이 1. 미지수의 개수를 줄이는 방법이라면 이차방정식에서는 2. 미지수의 차수를 낮추기 위해서 인수분해를 하죠.
연립이차방정식에는 이차식을 인수분해도 하고, 일차식을 이차식에 대입하기도 하죠. 1, 2의 방법을 모두 사용해요.
마찬가지로 등비수열에서는 차수도 높고 미지수도 여러 개라서 두 가지 방법을 다 사용하는 거랍니다. 차수를 낮추려고 나누는 것뿐이고요.
정말 많이 배웁니다. 진심으로 감사드립니다.
연습문제 2번이 없는 줄알았는데 번호가 3번으로 잘못 되어 있었네요.^^
그러네요. ㅎㅎ
고맙습니다!
댓글 고맙습니다.
저기 혹시 제가 싱가폴에서 공부하는데 2 in 1이 뭘 뜻하는지 모르겠어서요... 혹시 이것 좀 도와 주실수 있나요?
비밀댓글입니다