로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.
로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.
로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.
로그의 성질
a0 = 1, a1 = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
a0 = 1 ⇔ loga1 = 0
a1 = a ⇔ logaa = 1
진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.
ax = M, ay = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
ax = M ⇔ logaM = x …… ①
ay = N ⇔ logaN = y …… ②
이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.
ax × ay = ax + y = MN ⇔ logaMN = x + y
①, ②에서 logaM = x, logaN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
logaMN = logaM + logaN
이번에는 ax = M을 ay = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.
ax ÷ ay = ax - y = ⇔
= x - y
①, ②에서 logaM = x, logaN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.
이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.
ax = M = Lk이라고 해보죠.
ax = M ⇔ logaM = x
ax = Lk ⇔ logaLk = x …… ③
③에서 logaLk = x니까 위 식의 x에 대입하면 logaLk = klogaL이 성립해요.
진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.
로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.
아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.
로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때
다음을 간단히 하여라.
(1) log22 + log24 + log28
(2)
(3)
(1) log22 + log24 + log28
= 1 + log222 + log223
= 1 + 2log22 + 3log22
= 1 + 2 + 3
= 6
하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.
log22 + log24 + log28
= log2(2 × 4 × 8)
= log226
= 6log22
= 6
(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.
log32는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.
(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.
log42는 (2)번의 log32와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.
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감사합니다^^
네, 댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
항상 잘 보고 갑니다 ^^ 잘 이해 되는 것 같아요! 감사합니다
항상라면 자주 방문해주시는 군요. ㅎㅎ 블로그 보다가 이해 안되는 내용있으면 언제든지 댓글 남겨주세요.
두 번째 문제에서 log로 남겨진 것에다가 3번째 문제처럼 혹시 3/2를 넣으면 어떻게 되나요?
3/2를 어디에 넣는다는 얘긴가요?
안녕하세요. 마지막 연습문제 (3)의 해설에 오탈자가 있어요. 문제에는 log (작은4) 2/4 라고 되어 있는데, 해설에는 log (작은4) 1/4로 되어 있어요. 문제 풀다가 댓글 남깁니다.
정말 많은 도움을 받고 있어요. 고맙습니다.
log(작은 4)1/4가 아니라 log(작은 4)1/2에요. 약분했거든요.
공부하시다가 다른 페이지에도 또 오타 있으면 알려주세요.
사소한건데요... 진수쪽 지수를 로그앞으로 가지고 올 때 곱셈기호를 지수랑 로그사이에 찍어야 하나요? 누구는 그냥 생략하고 누구는 찍고하는거 같아서용~~~~~
곱셈기호는 생략할 수 있으니까 써도 되고, 생략해도 되고 아무거나 상관없어요.
우아 설명 정말 잘 하시네요
이해하기 쉽나요? ㅎㅎ
그러면 log의 작은 글자에 아무것도 없고
log 10 이런 값은 무엇을 나타내나요?
상용로그(http://mathbang.net/599)를 참고하세요.
머릿속이 정리가 되는 느낌이에요!
힘내세요
전 다시 공부하러 갑니다
2016-09-18 일요일 올림
무슨 공부를 또 하나요? 쉬엄쉬엄하세요. ㅎ
부끄럽지만 예전에 공부했던 수학이 필요해 다시 공부하고 있습니다. 로그 공식이 어떻게 유도됐던 건지 궁금해 여기 저기 돌아다니다 여기서 답을 얻고 갑니다. 댓글을 남기지 않으면 안될 정도로 해설이 친절하네요. 감사합니다.
다시 공부하는 건 절대 부끄러운 게 아니라 오히려 칭찬해드려야 할 일입니다. 그냥 모른체 넘어가는 게 더 부끄러운 거죠.
휴~~~ 다행이네요ㅋ생각보단 뭐 ㅎㅎㅎ
수알못인제가 이해햇다면 다른분들도 이해햇겠죠 고맙습니다!
이제 수알아닌가요? ㅎ
안녕하세요, 수포자가 수학에 다시 한 번 도전해볼려는데용.
a의 x승 : a^x
L의 k승 : L^k
a^x = L^k
a^(x/k) = L
이 부분에서 a^(x/k) 가 어떻게 도출되는지 모르겠네요.
아래처럼 실제 값을 대입해보면 이해는 되는데 ... 이 공식을 유하도는 것은 어디를 공부해야 할까요?
2^8 = 4^4
2^(8/4) = 4
2^2 = 4
거듭제곱근을 이용한 내용이네요.
우변에 L^k -> L로 바뀌었잖아요. 양변에 k제곱근을 구한 건데, 우변의 지수는 1이고 좌변의 지수가 유리수가 됐어요.
http://mathbang.net/583 부터 쭉 읽어보세요.
시험 전날에 로그 기초 계산법을 다 잊어버려서 곤란해하고 있었는데 닥분에 알아갑니다 ㅎㅎ 설명 엄청 잘 하셔요~!
이름 그대로 기초 계산법이니 잊어버리시면 안돼요.
logM *logN 같은경우에는 어떻게 정리가되나요?
그냥 그대로 두시면 됩니다.
문과생인데 ㅜㅠ 전자공학 복전때문에 수학이 필요해서 들리게 되었습니다.. 설명이 간결해서 ㅜㅠ 이해가 되네요 정말 감사합니다:)
복전이 뭘까 한참 생각했네요. ㅎㅎ
두마리 토끼 모두 다 잡으시길 바랍니다.
감사합니다 :) 수학공부하는데 도움이 많ㅇㅣ됩니다