거듭제곱근에 대해서 알아봤는데요. 이제는 거듭제곱근에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.
거듭제곱근을 구할 때는 방정식을 이용해서 구했는데 그렇게 구한 거듭제곱근에는 실수도 있고 복소수도 있었죠? 앞으로는 거듭제곱근 중에서 실수인 것만 사용하는데, 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있는지 그래프를 통해서 알아볼 거예요.
그리고 실수인 거듭제곱근이 의미하는 것에 대해서도 알아볼 건데 이게 좀 어려우니까 집중해서 잘 보세요.
실수인 거듭제곱근
방정식에서 x의 차수만큼 해가 존재해요. 거듭제곱근도 식으로 표현하면 일종의 방정식이죠?
xn = a ⇔ a의 n제곱근
위 식을 만족하는 x는 n개 존재해요.
방정식의 해는 삼차방정식 x3 = 1의 허근 ω 오메가의 성질에서 봤던 것처럼 실근과 허근이 섞여 있어요. 마찬가지로 a의 n 제곱근은 n개 있는데 그중에는 실수와 허수가 섞여 있는 거죠. 하지만 여기서는 실수인 것만 다뤄요.
xn = a를 만족하는 실수 x를 구하기 위해서 두 개의 그래프로 나눠서 생각해보죠. y = xn과 y = a의 그래프의 교점의 x좌표가 실수 x가 되겠죠?
n이 짝수일 때
먼저 n이 짝수일 때예요. 그냥 간단하게 이차함수의 그래프를 생각하세요. y축에 대하여 대칭이에요.
a > 0일 때는 y = xn과 y = a의 그래프는 두 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 두 개라는 걸 알 수 있어요. 양수인 것은 , 음수인 것은
예요.
n = 2일 때도 양수와 음수 2개의 제곱근이 있었어요.
거듭제곱근을 나타낼 때는 근호()의 모서리에 조그맣게 n을 쓰고 근호 안에는 a를 써요. 읽을 때는 그냥 n제곱근 a라고 읽고요.
에서는 2를 생략하고 그냥
만 써도 괜찮아요.
a = 0일 때는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 0은 그냥 0이죠? = 0
a < 0일 때는 만나는 점이 없어서 n 제곱근 중에 실수인 x가 없어요.
n이 홀수일 때
n이 홀수일 때예요. 그래프는 나중에 따로 공부하겠지만 그래프가 원점에 대하여 대칭이에요.a의 부호와 상관없이 y = xn과 y = a의 그래프는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 이때는 라는 한 개의 실수만 있어요.
a > 0이면 교점이 y축보다 오른쪽에 있으니까 x = , a = 0이면 x =
= 0이죠. 그럼 a < 0일 때는 교점이 y축보다 왼쪽에 있으니까 x =
일까요?
그래프에서 보면 y축에서 왼쪽에 있는 교점의 x좌표 앞에 (-)가 안 붙어있죠? 왜 그럴까요?
실수의 곱에서 음수를 홀수 개 곱하면 그 결과가 음수고, 음수를 짝수 개 곱하면 그 결과가 양수예요. x3 = -1에서 어떤 똑같은 수를 세 번 곱해서 -1이 나오려면 세 수가 모두 음수인 -1이어야 해요. 음수를 세 개 곱해야 음수가 나오니까요.
xn = a에서 n이 홀수일 때, a < 0이면 x < 0이어야 한다는 거죠. x가 음수여야 x를 홀수 개 곱했을 때 음수 a가 나와요.
x = 인데, 그 자체가 이미 음수라는 의미를 포함하고 있어요. 그러니까 따로 n 제곱근호 앞에 (-) 부호를 붙이지 않아도 음수라는 거죠.
마치 ax2 + bx + c = 0 (a < 0)에서 a 앞에 (-) 부호가 없지만 a 자체가 음수인 거랑 비슷한 거예요.
조금 이해하기 어려울 수 있는데, 천천히 다시 읽어보세요.
a > 0 | a = 0 | a < 0 | |
---|---|---|---|
n이 짝수 | 0 | 없다. | |
n이 홀수 |
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제가 그냥 예습차원에서 보고있는데요~ 갑자기 루트앞에 조그맣게 n을 적네요? 이건 어느 단원에서 처음 배우는건가요? 여기서도 설명에서 개념 언급이 없는거 같아서요~ 갑자기 제곱근에서 처음보는게 나와서요 루트앞에 조그만 n 이거 뭐지요?
x^n = a일 때, x는 a의 n제곱근이죠? 이걸 기호로 나타낸 거예요. 거듭제곱근(http://mathbang.net/583)을 참고세요.
n이 홀수일때요,
x=n제곱근a라고 할때 a가 음수이면 근호안이 음수가 되잖아요
n제곱근a에서 n이 홀수이면 근호안이 음수가 되도 실수가 되니 상관없는거죠?
(n이 짝수이면 허수가되고)
네.
이파트는 암기하면 절대안되고 자꾸 생각하고 그려보고 하다보면 체득됩니다 처음이 어렵지 상당히 쉬운파트에용
보통 이해가 안될 때는 그냥 외우면 어느 정도 해결이 되는데, 여기는 그게 안되죠. 몇 번이고 읽어보고 이해하다보면 탁 트이는 때가 오는데 그 이후부터는 쉬워요.
앞단원 쉽게 넘어간다햇더니ㅠ
고맙습니다ㅠ
원래 처음에는 미끼로 쉬운 걸 던저주는 거예요.
미끼를 물어버렸네요. ㅎㅎ
N이 홀수일 때의 그래프에서, a=0이면 그 교점도 0이니까 그 제곱근이 0이 아닌건가요? 그냥 0도 포함되니까 몽뚱그려서 표를 그리신건가요? 그리고 수열을 공부하다 갑자기 로그 얘기가 나와서 좀 혼란스럽습니다. 일단 이해를 위해서 로그로 먼저 넘어왔는데 이게 맞는건지 원...
a = 0이면 제곱근도 0이죠. 거듭제곱해서 0이 나오는 수는 0밖에 없어요.
글 하단의 목차를 이용하지 말고, http://mathbang.net/699 에 있는 목차를 이용하세요.
해당글의 제일 상단 내용을 참고하시고요.