경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙

방학이 다 끝나고, 2학기가 시작되었어요.

2학기에는 확률과 도형에 대해서 공부해요. 1학기 때 배웠던 연립방정식이나 함수와 다른 새로운 내용이니까 "기초가 부족해" 이런 생각하지 마세요. 처음 보는 단원이다 생각하고 열심히 하시면 됩니다.

처음으로 배울 내용은 확률인데 그 중에서도 경우는 수예요. 경우의 수는 간단히 말해서 주사위를 던지거나 동전을 던졌을 때 어느 면이 나오는지 그 수를 세보는 거예요.

경우의 수는 상식적인 선에서 생각해야 해요. 동전을 던졌을 때 세로로 서 있는 경우, 침대 밑으로 굴러가서 확인할 수 없는 경우 등은 전혀 고려하지 않아요.

경우의 수

사건은 같은 조건에서 여러 번 할 수 있는 실험이나 관찰로 얻어진 결과를 말해요. "동전을 던졌더니 앞면이 나왔다." 같은 거요.

시행은 실험이나 관찰을 하는 행위를 말하고요.

경우는 수는 사건에서 일어날 수 있는 경우의 가짓수에요.

동전을 던지면 앞면이 나오는 경우가 있겠죠? 뒷면이 나오는 경우도 있을 거예요. 두 가지 경우가 있지요? 동전을 던질 때는 앞면 또는 뒷면이 나오는 두 가지 경우가 있어요. 따라서 이때의 경우의 수는 2에요.

주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나올 수 있어요. 총 6가지죠. 따라서 이때의 경우의 수는 6이에요.

합의 법칙

경우의 수를 구하는 방법은 크게 두 가지에요. 그중에 첫 번째는 합의 법칙인데요.

한 개의 주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구한다고 해보죠.

주사위를 던져서 2의 배수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 세 경우가 있어요. 경우의 수는 3이죠.
주사위를 던져서 5의 배수가 나오는 경우는 5 한 가지뿐이에요.

주사위를 던져서 2의 배수 또는 5의 배수가 나오는 경우는 3 + 1 = 4예요.

주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나오는데, 2의 배수이면서 5의 배수인 경우가 있나요? 없죠? 그래서 각각의 경우의 수를 구해서 더해주는 거예요.

합의 법칙은 각 사건이 동시에 일어나지 않을 때 사용해요. 문제에서 " 또는 ", "~ 이거나" 하는 표현들이 나올 때죠.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수 = a + b(가지)

1 ~ 30까지의 자연수가 적힌 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

상자에서 카드를 꺼낼 때 5의 배수인 카드가 나오는 경우는 5, 10, 15, 20, 25, 30으로 6가지에요.
7의 배수인 카드가 나오는 경우는 7, 14, 21, 28로 4가지고요.

문제에서 "5의 배수인 카드 또는 7의 배수인 카드"라고 했으니까 두 경우의 수를 더해서 6 + 4 = 10, 총 10가지 경우가 되겠네요.

1 ~ 30까지의 자연수가 적혀있는 카드가 상자에 들어있다. 이 상자에서 카드를 한 장 꺼낼 때 3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드가 나올 경우의 수는 몇 가지인가?

위의 예제와 같은 문제인데 숫자만 바꿨어요. 풀이가 어떻게 달라지는지 보죠.

상자에서 카드를 꺼낼 때 3의 배수인 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 총 10가지에요.
4의 배수인 카드가 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 총 7가지고요.

이 문제에서도 "3의 배수인 카드 또는 4의 배수인 카드"라고 했으니까 그냥 10 + 7 = 17하면 될까요?

안됩니다. 12가 적힌 카드를 뽑았다고 해보죠. 12는 3의 배수이면서 4의 배수예요. 12를 뽑은 건 하나의 사건인데 3의 배수인 카드를 뽑은 사건과 4의 배수를 뽑은 사건 양쪽에서 각각 더해주면 두 번을 세는 거예요. 그래서 한 번은 빼줘야 해요. 24도 마찬가지고요.

10 + 7 - 2 = 15, 이때의 경우의 수는 15가 돼요.

합의 법칙은 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없을 때 각 사건이 일어나는 경우의 수를 더해줘요. 하지만 두 사건이 모두 일어나는(중복되는) 경우가 생기면 그만큼을 빼줘요.

곱의 법칙

1, 2, 3, 4가 적힌 카드 네 장이 있어요. 이 네 장의 카드를 이용해서 두 자리 자연수를 만드는 경우의 수는 몇 가지인지 알아보죠.

두 자리 자연수를 만든다고 했으니까 십의 자리 숫자 하나, 일의 자리 숫자 하나를 뽑아야 해요.

십의 자리 숫자로 1을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 2, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 2를 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 3, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 3을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 4가 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.
십의 자리 숫자로 4을 놓는다고 하면, 일의 자리 숫자는 1, 2, 3이 될 수 있어요. 경우의 수는 3가지네요.

각각의 경우를 수를 다 더하면 3 + 3 + 3 + 3 = 12가 나와요.

이 문제를 쉽게 풀어볼까요?

십의 자리 숫자에 올 수 있는 수는 1, 2, 3, 4 해서 총 4개에요. 그리고 어떤 한 수를 십의 자리에 놓았을 때 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 나머지 3개죠?

(십의 자리를 뽑는 경우의 수 4) × (일의 자리를 뽑는 경우의 수 3) = 12 하면 쉽게 구할 수 있죠?

곱의 법칙은 합의 법칙과 달리 사건이 동시에 일어나는 경우에 사용해요. 동시라는 같은 시각을 의미하는 게 아니에요. 경우의 수를 구하는 과정에서 두 사건이 모두 일어나야 한다는 뜻이에요.

십의 자리를 뽑는 것과 일의 자리를 뽑는 두 사건이 모두 일어나야 하죠? 십의 자리를 뽑는 사건과 일의 자리를 뽑는 사건 중 하나만 일어나서는 경우의 수를 구할 수 없어요. "동시에"라는 말은 여러 사건이 모두 일어나는 경우를 말해요.

이처럼 두 개 이상의 사건이 동시에 일어나면 각각의 경우의 수를 곱해요.

사건 A가 일어나는 경우의 수가 a가지
사건 B가 일어나는 경우의 수가 b가지일 때,
사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 경우의 수 = a × b(가지)

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠와 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라.

여기서는 3종류의 티셔츠 중 하나를 고르는 사건과 2종류의 바지 중에서 하나씩 골라 입는 경우의 수를 구하라고 했어요. 티셔츠를 고르는 사건과 바지를 고르는 사건은 동시에 일어나야 하는 하죠?

티셔츠를 고를 수 있는 경우의 수는 3, 바지를 고를 수 있는 경우의 수는 2에요.

따라서 옷을 입을 수 있는 경우의 수는 3 × 2 = 6(가지)가 되는 거죠.

합의 법칙과 곱의 법칙의 선택

어떤 두 사건이 있을 때 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으면 합의 법칙, 두 사건이 모두 일어나야 하면 곱의 법칙을 사용해요.

위의 1 ~ 30까지 자연수가 적힌 카드가 들어있는 상자에서 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수 예제를 보죠. 이때는 5의 배수가 적힌 카드가 나와도 괜찮죠. 그리고 7의 배수가 적힌 카드를 뽑아도 괜찮아요. 두 사건 중 하나만 일어나도 상관없으니까 합의 법칙이에요.

3종류의 티셔츠와 2종류의 바지에서 하나를 고르는 예제를 보죠. 티셔츠를 고르는 사건만 일어나거나 바지만 고르는 사건만 일어나서는 안 돼요. 두 사건 모두가 일어나야 해요. 그래서 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

합의 법칙: 여러 사건 중 하나만 일어나도 괜찮은 경우
곱의 법칙: 여러 사건이 모두 일어나야 하는 경우