경우의 수 공식 - 한 줄 세우기

경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 경우의 수라는 걸 알아봤어요.

이제는 여러 상황에서 경우의 수가 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

몇 가지 패턴이 있는데, 그것만 알면 경우의 수를 쉽게 구할 수 있어요. 공식이 나옵니다. 외우면 좋겠죠?

경우의 수에서 예로 들었던 동전 던지기와 주사위 던지기를 알아볼 거고요. 여러 항목을 한 줄 세우기 할 때 경우의 수에 대해서 알아볼 거예요.

동전 던지기

동전은 앞면과 뒷면이 있어요. 그래서 동전 하나를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 두 개죠.

동전 두 개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수를 순서쌍으로 나타내 볼까요?
(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤) 이렇게 총 4가지 경우가 있어요.

동전 두 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 각각의 동전을 동시에 던지니까 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 = 4로 구합니다.

동전을 세 개 던지면 어떻게 될까요? 마찬가지로 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 × 2 = 8이 되겠네요.

동전의 개수가 n 개라면 동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 2ⁿ입니다.

주사위 던지기

주사위는 총 6개의 면이 있어요. 한 개의 주사위를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 6이에요.

주사위 두 개를 던지면 어떻게 될까요?
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

총 36가지의 경우가 있어요. 두 개의 주사위도 마찬가지로 동시에 일어나는 사건이니까 6 × 6 = 36이 되는 거죠.

주사위를 세 개 던지면 6 × 6 × 6 = 216의 경우의 수가 나와요.

주사위 n개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6ⁿ입니다.

한 줄 세우기

줄 세우기는 여러 개의 항목이 있는 걸 차례대로 놓는 걸 말해요.

한 줄 세우기

1 ~ 4까지의 자연수가 있어요. 이 자연수를 차례대로 놓아서 네 자리 숫자를 만들 때, 경우의 수는 어떻게 될까요?

먼저 천의 자리 숫자에는 1 ~ 4까지 아무 수나 하나 골라요. - 경우의 수는 4
백의 자리 숫자를 고르는데, 천의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 그래서 남은 세 수중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 3
십의 자리 숫자를 고르는데, 천, 백의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 남은 두 수 중에서 하나를 골라요. - 경우의 수는 2
마지막 일의 자리 숫자는 천, 백, 십의 자리 숫자를 고르고 남은 하나가 됩니다. - 경우의 수 1

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 뽑는 건 동시에 일어나는 것으로 곱의 법칙을 이용할 수 있어요.

그래서 네 자리 숫자를 만들 수 있는 총 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1 = 24가 됩니다.

여러 항목을 줄 세울 때는 항목의 개수가 몇 개인지가 중요해요. 줄 세울 때 경우의 수는 아래 공식으로 구할 수 있어요.

한 줄 세우기 경우의 수
n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1

개수를 하나씩 줄여가면서 계속 곱하는 거예요.

웬디, 아이린, 슬기, 조이, 예리 다섯 사람이 앨범 표지로 사용할 사진을 찍으려고 한다. 이 다섯 명이 한 줄로 서서 사진을 찍을 때 한 줄로 서는 경우의 수는 얼마인가?

한 줄 세우기 공식 한 번 더 써보죠. n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1

멤버 수가 총 5명이니까 5부터 1씩 줄여가면서 계속 곱하면 돼요.

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 가지의 경우가 있네요.

이웃하여 한 줄 세우기

한 줄을 세울 때 특별한 경우가 있어요. 항목중에서 몇 개를 꼭 함께 놓는 경우가 있거든요.

과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 팔아요. 이 과일들을 한 줄로 진열하려고 할 때 사과와 배는 꼭 바로 옆에 놓게 진열을 한다면 몇 가지 경우의 수가 있을까요?

사과와 배를 바로 옆에 놓지 않아도 될 때의 경우의 수를 먼저 구해보죠. 과일의 종류가 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박 총 6가지니까 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지의 경우의 수가 있어요.

이 중에서 사과와 배가 바로 옆에 붙어 있는 경우의 수를 구해야 하는 거잖아요. 이때는 사과와 배를 하나의 묶음으로 생각해 버려요. 하나의 묶음으로 생각해서 과일의 종류가 총 다섯 가지라고 계산하면 쉽거든요.

사과와 배를 하나의 묶음으로 생각하면 한 줄로 진열할 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? 한 줄로 세우는 공식은 바로 위에서 했죠? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120이네요.

여기서 끝난 게 아니에요. 사과와 배를 묶음으로 생각했는데, 사과 - 배의 순서로 놓을 수도 있고 배 - 사과의 순서로 놓을 수도 있겠지요? 사과와 배를 줄 세우는 방법이 두 가지 경우가 있어요. 이건 다른 과일들을 놓는 것과 동시에 일어나는 사건이기라서 곱의 법칙을 이용해요.

결국, 여섯 종류의 과일을 진열할 때 사과와 배를 바로 옆에 놓도록 진열하는 방법은 120 × 2 = 240가지가 있어요.

이웃하여 한 줄 세우기는 아래의 공식으로 구할 수 있어요.

이웃하여 한 줄 세울 때 경우의 수
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)

과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 한 줄로 진열하려고 한다. 배, 감, 포도가 서로 이웃하도록 진열하려고 할 때 경우의 수를 구하여라.

위 설명에서 했던 문제인데, 이번에는 배, 감, 포도 총 세 개의 과일을 이웃하게 진열한다고 했네요.

공식을 그대로 쓰면 돼요.

먼저 배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 생각하면 과일의 종류는 4가지로 볼 수 있겠지요? 이 네 가지를 한 줄로 진열하는 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1이 되고요.

배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 봤을 때 배, 감, 포도를 한 줄로 진열하는 방법은 3 × 2 × 1가지가 있어요.

위의 둘을 곱하면 답이 나옵니다.

(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
= (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 24 × 6
= 144

총 144가지의 경우의 수가 나오네요.