그래프인데요. 이제까지 우리가 봤던 함수의 그래프와는 조금 다른 형태의 그래프예요. 오히려 일반적인 도형과 더 비슷해요. 모양뿐 아니라 용어도 같고 부르는 이름도 같고요. 그래프와 도형은 비슷하니까 둘을 잘 비교해서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

내용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있지만 일단 이해하고 나면 서로 헷갈릴 수 있으니까 그 차이점을 분명히 알아야 해요. 분명히 도형과 그래프는 다른 영역의 내용이니까 그래프의 내용을 도형에 적용하거나 도형의 성질을 그래프에 적용하면 안 돼요.

그래프와 행렬 1 - 그래프

함수에서의 그래프는 함수식을 만족하는 점들의 순서쌍은 좌표평면 위에 나타낸 것을 말하죠? 여기에서 그래프는 그냥 점과 선으로 이루어진 그림을 말해요. 아래 그림처럼 생긴 게 그래프예요.

점 A, B, C, …가 있는데 그래프에서 점을 꼭짓점이라고 하고 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 해요.

도형에서 점을 A, B, … 부르듯이 그래프에서도 꼭짓점을 A, B, … 라고 불러요. 도형에서 변을 부를 때 양쪽 점의 이름을 이용해서 AB, BC, … 부르듯이 그래프에서도 변을 부를 때는 AB, BC, …라고 부르고요. 또 도형에서 AB와 BA는 같죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

다각형에서의 변은 직선이었죠? 그런데 그래프에서의 변은 곡선도 괜찮고 이상하게 생긴 찌그러진 선도 상관없어요. 그냥 꼭짓점을 연결한 선이면 모두 변이에요. 꼭짓점 E와 H를 연결한 선은 곡선이죠? 이 곡선도 변이에요.

다만 변에서 주의해야 할 건 두 꼭짓점을 연결하는 변이 하나만 있어야 해요. 아래 그림의 IJ처럼 서로 다른 선으로 연결되면 안 돼요.

서로 같은 그래프

꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 그래프는 같다고 해요.

두 번째 그림은 첫 번째 그림의 AD를 구부려서 그린 거예요.

세 번째 그림은 첫 번째 그림의 A의 위치를 바꿔서 그린 거고요.

네 번째는 첫 번째 그림에서 A의 위치를 바꾸고 BC를 구부려서 그린 거예요.

따라서 네 개의 그림이 모두 서로 같은 그래프죠.

네 그림 모두 꼭짓점이 A, B, C, D이고 변은 AB, BC, CD, DA예요. 이처럼 꼭짓점과 변이 같은지 비교해보면 서로 같은 그래프인지 알 수 있어요.

경로

경로는 지나가는 길을 말하죠. "집에서 출발해서 서점 들렀다가 버스를 타고 학교에 간다." 이때의 경로는 학교 → 서점 → 버스 정류장(승차) → 버스 정류장(하차) → 학교가 되겠죠?

수학에서 경로도 같아요. 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 해요. 차이가 있다면 한 번 지난 변을 다시 지나지 않는 거예요. AB를 지났으면 BA를 지나지 않고 가야 해요. AB = BA니까요.

그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로
(2) 꼭짓점 A에서 꼭짓점 C까지 가는 경로(단, 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나지 않는다.)

(1) 경로는 한 번 지난 변을 지나지 않고 꼭짓점을 이동할 때 이 꼭짓점들을 순서대로 나열한 것을 말해요. 한 번 지난 변을 또 지나지 않으면 되고, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나도 상관없어요. 꼭짓점 별로 세 가지 방향이 있네요.

모양이 좀 이상하긴 한데요. 경우의 수 구할 때처럼 <을 이용해서 구하면 쉽게 구할 수 있어요.

ABC, ABDAC, ABDC, AC, ADBAC, ADBC, ADC로 총 7가지 경로가 있네요.

(2) 똑같이 경로를 구하는 문제인데, 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않는다고 했어요. (1)에서 구했던 경로 중에 같은 꼭짓점을 두 번 지나지 않는 걸 찾아보죠.

7개의 경로 중에서 ABDAC와 ADBAC는 꼭젓점 A가 반복되니까 제외해야 겠죠? 결국 한 번 지난 꼭짓점을 다시 지나는 않는 경로는 ABC, ABDC, AC, ADBC, ADC로 총 5가지 네요.

차수

다항식에서의 차수는 문자가 곱해진 횟수를 말하죠. 여기서의 차수는 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 말해요.

이 그림의 A에서는 AB, AC, AD의 세 변이 있으니까 3차예요. 다른 꼭짓점들도 모두 3차네요.

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정리해볼까요

그래프

  • 그냥 점과 선으로 이루어진 그림
  • 꼭짓점: 그래프에서 점, A, B, C
  • 변: 꼭짓점을 연결한 선. AB, BC, CA,

서로 같은 그래프

  • 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘려서 두 그래프가 같은 그림으로 그려질 수 있을 면 두 그래프는 같다고 한다.
  • 꼭짓점, 변이 서로 같다.

경로: 그래프의 한 꼭짓점에서 출발해서 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때, 순서대로 꼭짓점을 나열한 것

차수: 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수

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